§9.1.2不等式的性質

【教學重點與難點】

教學重點：掌握不等式的三條基本性質，尤其是不等式的基本性質3．

教學難點：正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形．

【教學目標】

1、 探索并掌握不等式的基本性質

2、 會用不等式的基本性質進行化簡

【教學方法】

通過觀察、分析、討論，引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質，從具體上升到理論，再由理論指導具體的練習，從而強化學生對知識的理解與掌握．

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境 復習引入

（設計說明：設置以下習題是為了溫故而知新，為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備．）

問題：1、什么是等式?等式的基本性質是什么?

2、 什么是不等式?

3、 用“＞”或“＜”填空．

（1）3<7 （2）2<3 （3） 2<3

3＋1 7＋1 2×5 3×5 2×(-1) 3×(-1)

3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5) 3×(-5) 3＋a 7＋a 2÷(-2) 3÷(-2)

（教學說明： 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到，不等式是否有與等式相類似的性質，從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體，通過觀察，尋找規(guī)律，得出不等式的性質.）

二、師生互動，探索新知

1、不等式的基本性質

問題1：觀察思考問題3，猜想出不等式的性質

先讓學生獨立思考，后合作交流，通過充分討論，類比等式性質得出不等式的性質.

觀察時，引導學生注意不等號的方向，通過（1）題學生容易得出不等式性質1：

不等式基本性質1 不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．

比較（2）、（3）題，注意觀察不等號方向，并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結，教師補充完善得出：

不等式基本性質2 不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．

不等式基本性質3 不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

問題2：將不等式－2＜6兩邊都加上7，－9，兩邊都乘3，－3試一試，進一步驗證上面得出的三條結論．

教師 強調指出：不等式的三條基本性質實質上是對不等式兩邊進行“＋”、“－”、“×”、“÷”四則運算，當進行“＋”、“－”法時，不等號方向不變；當乘（或除以）同一個正數(shù)時，不等號方向不變；只有當乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向才改變．

問題3：嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質．

學生思考出答案，教師訂正，最后得出：

(1) 如果a>b，那么a±c>b±c

(2) 如果a>b，c>0那么ac>bc(或>)

(3) 如果a>b，c<0那么ac<)

問題4：不等式的基本性質與等式的基本性質有哪些區(qū)別、聯(lián)系?

學生獨立思考、小組交流討論，師生歸納得出：

區(qū)別：等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0）時，結果仍相等；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0）時，會出現(xiàn)兩種情況，若是正數(shù)，不等號方向不改變，若是負數(shù)不等號方向要改變，而且不等式兩邊同乘以0，結果相等.

聯(lián)系：不等式性質和等式性質都討論的是兩邊都加上或減去同一個數(shù)的情況和兩邊都乘以或除以同一個數(shù)（除數(shù)不為0）的情況，即研究“形式”一致.

（教學說明：通過觀察具體數(shù)字運算的大小比較，聯(lián)系已學過的等式的性質，讓學生歸納出不等式的三條基本性質，并分別用式子的形式表示它們.用式子表示是個抽象概括的過程，只有理解了相關內容才會概括表示它們.研究不等式的基本性質與等式的基本性質的區(qū)別與聯(lián)系可以幫助學生用類比的方法來記憶與學習.）

2、不等式性質的應用

例1：利用不等式的性質，把下列不等式化成“x>a” 或“x

(1)x-7>26; (2)3x<2x＋1;

(3) x>50; (4)-4x>3.

解：（l）根據(jù)不等式基本性質1，不等式的兩邊都加上7，不等號的方向不變． 得

x-7＋7>26 ＋7.

x>33

（2）根據(jù)不等式基本性質1，兩邊都減去2x ，不等號的方向不變，得

3x-2x<2x＋1-2x

x<1

（3）根據(jù)不等式基本性質2，兩邊都乘以，不等號的方向不變，得

x>75

（4）根據(jù)不等式基本性質3，兩邊都除以－4，不等號的方向改變，得

x< -

(教學說明：這些不等式比較簡單，可以利用不等式的性質直接求解，從而加深對這些性質的認識. 教師板書（1）題解題過程．（2）（3）（4）題由學生在練習本上完成，指定三個學生板演，然后師生共同判斷板演是否正確．解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比，有助于加強知識之間的前后聯(lián)系，突出新知識的特點，并將原題與“x>a” 或“x

例2：三角形中任意兩邊之差與第三邊有什么大小關系? a b

師生共析:三角形的兩邊之和與第三邊有什么關系? c

三角形的任意兩邊之和大于第三邊，如圖，我們設三角形三邊長分別為a,b,c,那么用式子如何表示前面的結果? a ＋b>c, a＋c>b, b＋c>a

我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關系，所以由不等式的性質1將上式變形為：

由a ＋b>c得a>c-b, b>c-a.

同理，由a＋c>b, b＋c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.

這就是說，三角形中任意兩邊之差小于第三邊.

(教學說明：此問題應用不等式的性質由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結論等價的新結論. “三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應的是三個形式一樣的不等式，而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識，可以通過測量的方法驗證這個結論.)

三、鞏固訓練，熟練技能：

1、如果a>b，那么 (1) a-3 b-3 ， (2) 2a 2b

(3) -3a -3b， (4) a-b 0

(5) （6）(6)-b_____-a.

2、在下列各題橫線上填入不等號，并說明是根據(jù)不等式的哪一條基本性質．

（1）若a–3＜9，則a_____12； （2）若-a＜10，則a_____–10；

（3）若a＞–1，則a_____–4； （4）若-a＞0，則a_____0．

3、利用不等式的性質解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集

（ 解未知數(shù)為x的不等式，就是要使不等式逐步化為“x＞a”或“x＜a”的形式）

(1)x-1＜0； (2)x＞-x＋6；

(3)3x＞7； (4)-x＜-3.

(教學說明：這些練習進一步加深了學生對不等式性質的理解，做此練習題時，應讓學生注意觀察它們是應用不等式的哪條性質，是怎樣由已知變形得到的．注意應用不等式性質3時，不等號要改變方向．做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比，讓學生認識到應用不等式的性質1變形，相當于移項.)

四、總結反思，情意發(fā)展

1、不等式的基本性質是什么?如何用數(shù)學式子表示?

2、在本節(jié)課的學習中，你還有什么疑惑?

（教學說明：在師生共同回顧本節(jié)課所學內容的基礎上，教師指出：在利用不等式的基本性質進行變形時，當不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個字母，字母代表什么數(shù)是問題的關鍵，這決定了是用不等式基本性質2還是基本性質3，也就是不等號是否要改變方向的問題.）

五、課堂小結

1．本節(jié)主要學習了不等式的三條基本性質及應用性質解簡單的不等式.

2．主要用到的思想方法是類比思想.

3．注意的問題:

當不等式兩邊同乘（或除以）同一個數(shù)時，一定要看清是正數(shù)還是負數(shù)，若是負數(shù)，

要變兩個號，一個性質符號，另一個是不等號，對于未給定范圍的字母，應分情況討論．

六、布置課后作業(yè)：

1、課本127頁練習

2、課本128習題9.1的5、6、7題

（教學說明：進一步鞏固本節(jié)課所學知識.）

七、拓展練習

1、指出下列各題中不等式變形的依據(jù):

(1)由3a＞2,得 (2)由-5a＞2,得 (3)由4a＞3a＋ 1,得a＞1

(4)由a＞b，得 (5)由a＞b，得2-a＜2-b

2、利用不等式的性質解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：

(1)x＋2＞-1 (2)5x≤7x-8 (3) (4) 6x≥ -12

3、某長方體形狀的容器長5cm，寬3cm，高10cm。容器內原有水的高度為3cm，現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水。用V（單位：cm3）表示新注入水的體積，寫出V的取值范圍。

【評價與反思】

通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質，引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質，同時注意將不等式的三條基本性質與等式的基本性質進行比較，以加深學生的理解. 　在教學過程中，注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結概括的能力．同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神．