第一課時垂直于弦的直徑（一）

教學(xué)目標(biāo)：

(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算和證明；

(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；

(3)通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛．

教學(xué)重點、難點：

重點：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力．

難點：垂徑定理的證明．

教學(xué)學(xué)習(xí)活動設(shè)計：

（一）實驗活動，提出問題：

1、實驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.

2、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.

通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理．

（二）垂徑定理及證明：

已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E．

求證：AE=EB，=，=．

證明：連結(jié)OA、OB，則OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸．所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合，、分別和、重合．因此，AE=BE，=，=．從而得到圓的一條重要性質(zhì)．

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�

組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：

CD為⊙O的直徑，CD⊥ABAE=EB，=，=.

為了運用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)��；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學(xué)生記混.

（三）應(yīng)用和訓(xùn)練

例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．

分析：要求⊙O的半徑，連結(jié)OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此時解Rt△AOE即可．

解：連結(jié)OA，作OE⊥AB于E．

則AE=EB．

∵AB=8cm，∴AE=4cm．

又∵OE=3cm，

在Rt△AOE中，

(cm)．

∴⊙O的半徑為5 cm．

說明：①學(xué)生獨立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)

關(guān)系：r = h＋d；　r²= d²＋ (a/2)²

例2、 已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．求證AC=BD．（證明略）

說明：此題為基礎(chǔ)題目，對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成．

練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開評價、交流．

指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.

（四）小節(jié)與反思

教師組織學(xué)生進(jìn)行：

知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用．

方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)��；⑤平分弦所對的劣�。�

（五）作業(yè)

教材p84中11、12、13．