在具體解題時(shí)，要學(xué)會(huì)從多角度觀察、分析、使用題設(shè)條件，才能夠打開(kāi)解題思路，找到較簡(jiǎn)潔的解法。

題目1 已知函數(shù)f(x)=ax²＋bx＋c的圖象過(guò)點(diǎn)（-1,0），是否存在常數(shù)a、b、c，使不等式 x≤f(x)≤(1＋x²) 對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？

分析：這是一道探索性題目，要充分利用題目的條件，找出a、b、c的關(guān)系，再利用不等式恒成立的條件得出結(jié)論。本題從兩個(gè)不同的角度觀察、分析、使用題設(shè)條件，提供了兩種不同的解法。

解法一：∵函數(shù)f(x)=ax²＋bx＋c的圖象(拋物線)過(guò)點(diǎn)（-1,0），

∴ a-b＋c=0 (1)

又∵ x≤f(x)≤(1＋x²) 對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則令x=0，有0≤c≤；

令x=1，有1≤a＋b＋c≤1，

∴ a＋b＋c=1 (2)

由(1)(2)解出 b=，c=-a

∴ 0≤-a≤

∴ 0≤a≤

將b=，c=-a代入x≤f(x)≤(1＋x²)，則得不等式組

的解集為R.

當(dāng)a=0或時(shí)，上述不等式組不能對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.

∴ 0

由得(4a-1)²≤0

∴ a=，c=.

綜上可知，存在a=c=，b=，使不等式

x≤f(x)≤(1＋x²)

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立。

解法二：∵x≤f(x)≤(1＋x²) 對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立

∴f(x)的圖象必夾在g(x)=x與h(x)=(1＋x²)的圖象之間.

如圖所示，易知g(x)與h(x)的圖象相切于點(diǎn)p(1,1)，因此f(x)與h(x)的圖象也必相切于點(diǎn)p(1,1)，從而有方程組

僅有一組解

也就是一元二次方程f(x)-x=0有兩個(gè)相等的根x₁=x₂=1，所以有f(x)-x=a(x-1)²

即 f(x)= a(x-1)²＋x

又∵f(-1)=0 ∴ a=

從而有 f(x)=x²＋x＋

綜上可知，存在a=c=，b=，使不等式x≤f(x)≤(1＋x²)

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立。

練習(xí)1 已知函數(shù)f(x)=ax²＋bx＋c，(a、b、c∈Z)同時(shí)滿足：(1)方程f(x)=0在(-2,0)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈R恒有不等式4x＋2≤f(x)≤8x²＋12x＋4成立。求a,b,c的值。

(答案a=4,b=8,c=3)

題目2 已知函數(shù)，求它的最大值和最小值。

分析：本題是關(guān)于三角函數(shù)的分式函數(shù)問(wèn)題，一般有兩種觀察方法，一種是將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為形如方程式asinx＋bcosx=c，根據(jù)不等式解出 的取值范圍（僅適用自變量x無(wú)限制范圍的情況）; 另一種是把函數(shù)式看作平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)p(cosx,sinx)與定點(diǎn)A(2,2)所在直線的斜率Kap.

解法一：由得：sinx＋ycosx=2-2y

即 sin(x＋θ)=. 故應(yīng)≤1

解得≤y≤

∴ y_max=；

y_min=

解法二：令A(yù)(2,2)、p(cosx,sinx)，則y=Kap.

如圖二所示，因?yàn)辄c(diǎn)p是單位圓上動(dòng)點(diǎn)，只須求共點(diǎn)直線系A(chǔ)p: y=k(x-2)＋2的斜率的最值，顯然，最值在直線和單位圓相切時(shí)取得，由，得

k₁=，k₂=

∴ y_max=；

y_min=

如果改函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[0,π]，由圖三易知

y_max=2；y_min=

練習(xí)2 求函數(shù) (0

（答案：y_min=）

題目3 設(shè)a>0，解關(guān)于x的不等式.

分析：本題是關(guān)于解含有參數(shù)的根式不等式的問(wèn)題，一般先轉(zhuǎn)化為有理式不等式組，然后再對(duì)參數(shù)分類討論求解。有時(shí)把這樣的不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)確定的函數(shù)與一個(gè)函數(shù)系，觀察它們的圖象之間的關(guān)系，就可以直觀的解題。

解法一 ：原不等式同解于

或

即(Ⅰ) 或（Ⅱ）

當(dāng)01

∴原不等式的解集為{x│x>a＋1-}.

(2) 當(dāng)a>2時(shí)，解(Ⅰ)得x∈φ，解（Ⅱ）得

∴原不等式的解集為{x│}.

解法二：令函數(shù)系y=()

和函數(shù)y=1-x，在同一個(gè)坐標(biāo)系下作出它們的圖象（圖四）和（圖五）。容易看出：

（1）當(dāng)0<≤1時(shí)，即0

令=1-x解得x0= a＋1-，

∴原不等式的解集為

{x│x>a＋1-}.

(2) 當(dāng)>1時(shí)，即a>2由圖五知

原不等式的解集為{x│}.

練習(xí)3 設(shè)a>0，解關(guān)于x的不等式.

(答案：{x│0