教學(xué)目標(biāo)

1．教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法

2．教學(xué)目的要求

(1) 深化函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法．

(2) 會(huì)利用函數(shù)單調(diào)性解決比大小、求值域、求最值等問題，會(huì)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．

(3) 通過函數(shù)單調(diào)性有關(guān)知識(shí)的縱橫延伸，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性．

設(shè)計(jì)思想

深化函數(shù)單調(diào)性的概念，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性重要性的認(rèn)識(shí)，理解和掌握函數(shù)單調(diào)性的各種應(yīng)用，在理解概念的基礎(chǔ)上，通過一些典型例題拓寬和加深對(duì)有關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生多渠道、多角度去思考，在更深、更廣的領(lǐng)域內(nèi)挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，探求問題的縱橫延伸，在實(shí)施轉(zhuǎn)化的過程中培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)．

1．明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法

2．介紹復(fù)合函數(shù)的意義，給出判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法和步驟

3．說明函數(shù)單調(diào)性的各種應(yīng)用

教學(xué)過程

一、課題引入

1．復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的概念，并說明根據(jù)單調(diào)性定義證明和判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

2．求一些簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

3．總結(jié)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法

二、知識(shí)講解

1．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法

(1) 圖像法；(2)定義法；(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性．

2．復(fù)合函數(shù)的意義(嚴(yán)格定義請(qǐng)參看上節(jié)課“函數(shù)單調(diào)性(一)”的“引伸和提高”部分)．另外可以給學(xué)生介紹下面的描述

如果y是u的函數(shù)，而u是x的函數(shù)，即y=f(u)，u=g(x)，那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f[g(x)]叫做函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù)，u為中間變量．

3．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：內(nèi)外層函數(shù)同增同減則增，一增一減則減．

4．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1) 利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．

(2) 確定函數(shù)的值域或求函數(shù)的最值．

(3) 利用函數(shù)的單調(diào)性解或證不等式．

(4) 利用函數(shù)的單調(diào)性解方程．

(5) 利用函數(shù)的單調(diào)性簡化畫函數(shù)圖像的過程．

三、例題分析

例6．判斷函數(shù)在(1，＋∞)上的單調(diào)性．

解：．

當(dāng)x>1時(shí)，u=(x＋2)²－4是增函數(shù)．

則在(1，＋∞)是減函數(shù)．

∴ 原函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：將函數(shù)變形，轉(zhuǎn)化成一些基本初等函數(shù)，利用基本函數(shù)的單調(diào)性討論較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性．

例7．已知二次函數(shù)f(x)=x²＋bx＋c，對(duì)任意x∈R，都有f(1＋x)=f(1－x)，試比較與f(－a²＋a－1) (a∈R)的大小

解：由f(1＋x)=f(1－x)知函數(shù)f(x)=x²＋bx＋c的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱．∴當(dāng)x∈時(shí)，f(x)是單調(diào)遞減的．

又

∴f(－a²＋a－1)≥

而

∴f(－a²＋a－1)≥

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，要注意自變量取值要在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)．本題就是利用二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性把轉(zhuǎn)換到，這樣與－a²＋a－1就在f(x)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．

例8．若x，y∈R，且滿足3x²＋2y²=6x，求x、y取何值時(shí)，x²＋y²取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

解：由已知得，解得，0≤x≤2．

其中x∈[0，2]．此函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程為x=3．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)是遞增的．

∴ 當(dāng)x=2時(shí)，x²＋y²取得最大值，最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，注意x的取值范圍即定義域和增減區(qū)間．

例9．求函數(shù)的值域．

解：令，t≥0

則

∴

(t≥0)

∴ 當(dāng)t=1時(shí)．ymax=1，當(dāng)t∞時(shí)，y－∞

∴

四、習(xí)　題

1．函數(shù)y=f(x)是定義域R上的減函數(shù)，則函數(shù)f(|x＋2|)的單調(diào)減區(qū)間是()

(A)R (B) (－∞，－2) (C) (－2，＋∞) (D) (－∞，2)

2．函數(shù)的值域是_________________________

3．函數(shù)y=2x²＋8x－1，x∈[－3，1]，則其最小值為_________，最大值為__________．

答　案

1．C 2．3．－9，9．

五、小結(jié)或總結(jié)

1. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷 2. 單調(diào)區(qū)間的求法 3. 比較大小 4. 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用求函數(shù)的最值

5. 函數(shù)的值域

六、思　考　題

1．已知函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上增函數(shù)，f(x)>0，f(2)=1．求函數(shù)(x>0)的單調(diào)區(qū)間．

2．已知函數(shù)f(x)=x²－2x＋2，x∈[t，t＋1] (t∈R)，f(x)的最小值是t的函數(shù)，記作g(t)，求g(t)的解析式．

3．求函數(shù)的最小值．

答　案1．單減區(qū)間，單增區(qū)間．

2．

3．．