一.教材分析

1．教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解不等式、方程、多項(xiàng)式、集合等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題題型和特點(diǎn)；

（2）掌握“轉(zhuǎn)換角度”、“化歸函數(shù)”、“構(gòu)造函數(shù)”的方法；

（3）滲透化歸數(shù)學(xué)思想；

(4) 培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn).

2．教學(xué)重點(diǎn)；

將不等式、方程、多項(xiàng)式、集合等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程和化歸思想.

3．教學(xué)難點(diǎn)：

利用“構(gòu)造法”化歸函數(shù).

4.教學(xué)方法：

啟發(fā)式、談話法.

5.教學(xué)工具：

投影儀、直尺.

二.教學(xué)過(guò)程

1．情境引入，激發(fā)思維；

教師：今天上課之前，我先講一段故事.那是1998年，學(xué)校教職工統(tǒng)一安裝電話，一位職工的電話號(hào)碼被安排為2815014，當(dāng)時(shí)他很不悅意，他說(shuō)“5014”的諧音是“我輪要事”或“我凍（動(dòng)）要死”，所以準(zhǔn)備化200元錢(qián)換一個(gè)號(hào)碼，圖個(gè)好口彩.那天電信局的師傅安裝電話到他家時(shí)，他說(shuō)待換好號(hào)碼后再裝.電信局的師傅問(wèn)清原由后，靈機(jī)一動(dòng)，說(shuō)了一句話使這位職工恍然大悟，欣然用原來(lái)的號(hào)碼安裝了電話.大家想一想，這位師傅說(shuō)了一句什么話？

（同學(xué)們先是個(gè)個(gè)全神貫注的聽(tīng)講，現(xiàn)在人人都在聚精會(huì)神的思考，緊接著是竊竊私語(yǔ)，氣氛頓時(shí)活躍）

學(xué)生1：那位師傅讓他不要信迷信.

教師：答的基本上對(duì).但是，這一句話恐怕解決不了這位職工的思想問(wèn)題.大家注意了沒(méi)有，問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生2：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵是數(shù)字“4”.

教師：對(duì)！換一個(gè)角度“4”的諧音讀什么？

學(xué)生搶答：音樂(lè)簡(jiǎn)譜“4”讀“發(fā)”！

教師：答的好！思維敏捷.那么，“5014”就成了——“我輪要發(fā)”或“我動(dòng)要發(fā)”，大吉大利，還節(jié)省人民幣200元.看來(lái)，有時(shí)“山重水復(fù)疑無(wú)路”，如果換一個(gè)角度就會(huì)“柳暗花明又一村”.

2．切入主題，循循善誘：

教師：請(qǐng)大家看這道由不等式求范圍問(wèn)題.（使用投影儀出示課例）

〖例1〗．對(duì)于滿足0≤p≤4的實(shí)數(shù)p，不等式

x²＋px＞4x＋p－3恒成立，試求x的取值范圍.

分析：設(shè)f（x）=x²＋（p－1）x＋3－p則拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸都不定，要求x的范圍卻無(wú)從下手.大家還有什么辦法？對(duì)！如果換一個(gè)角度，將p看成自變量，怎么樣？

學(xué)生3：〖解〗：設(shè)f（p）=（x－1）p＋（x²－4x＋3），那么問(wèn)題就變成f（p）在p∈[1，4]區(qū)間上恒大于零的問(wèn)題.從而，

……f（0）＞0（x－1）·0＋（x²－4x＋3）＞0

f（4）＞0（x－1）·4＋（x²－4x＋3）＞0

x＞3或x＜－1

故 x的取值范圍為（－∞，－1）∪（3，＋∞）

老師：答的很好！大家可以看到：原來(lái)“山重水復(fù)”不好入手的問(wèn)題，我們轉(zhuǎn)換了一下角度，將x暫看為常數(shù)而把參數(shù)p當(dāng)作自變量，得到了函數(shù)f（p），從而“柳暗花明”.

3．順勢(shì)利導(dǎo)，步步深入：

老師：大家再了看看下面的例子，考慮如何求解：

〖例2．設(shè)關(guān)于x的方程 x²－mx＋4=0在[－1，1]上有解， 求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 〗

學(xué)生4：令f（x）= x²－mx＋4 ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線f（x）= x²－mx＋4 與x數(shù)軸

在x∈[－1，1]上有交點(diǎn)的問(wèn)題.

老師：答的對(duì).他是將方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問(wèn)題來(lái)解決的.但是要注意，有交點(diǎn)要分為有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)（是橫坐標(biāo)大的還是小的）.

還是化成函數(shù)問(wèn)題，還有沒(méi)有其它的方法？能不能也轉(zhuǎn)換一個(gè)角度考慮一下？

學(xué)生5：可將m看成x的函數(shù).

∵ x ≠0∴有 m=x＋4/x ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題.

教師：哪位同學(xué)考慮成熟了，上來(lái)將解的過(guò)程寫(xiě)在黑板上？

學(xué)生6：〖解〗：∵ x ≠0∴m=x＋4/x此函數(shù)顯然是奇函數(shù)，

易證函數(shù) m 在（0，1]上為減函數(shù)

∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，在x =1 函數(shù)有最小值 m小=1＋4=5，m∈[5，＋∞)

同理，當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，在x=－1時(shí) 函數(shù)有最大值 m大=－5 ，m∈（－∞，－5]

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－∞，－5]∪[5，＋∞)

教 師：將方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象或函數(shù)值域問(wèn)題，可使方程問(wèn)題迎刃而解.其中利用函數(shù)值域問(wèn)題求解則更為簡(jiǎn)捷.

（出示例3）

〖例3〗．若 x、y∈ R且（2x＋y）13＋x13＋3x＋y＜0 ，求證：3x＋y＜0

同學(xué)們根據(jù)條件、結(jié)論不等式的特點(diǎn)或變形后的特點(diǎn)，看看能否也轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題？

學(xué)生7：〖證明〗：將條件化為（2x＋y）13＋（2x＋y）＜－（x13＋x ）

令 f（t）= t13＋t， 則有f（2x＋y）＜－f（x）

又 f（t）為奇函數(shù) ，f（－x）= －f（t）

∴ f（2x＋y）＜f（－x）， 易證 f（t）在R上是增函數(shù)

∴2x＋y＜－x即3x＋y＜0

老 師：構(gòu)造函數(shù)，深入淺出.解的很好！

三．學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐：

請(qǐng)大家注意看，以下的題目用什么方法證明好？

〖設(shè)a、b、c均為絕對(duì)值小于1的實(shí)數(shù)，求證：

ab＋bc＋ca＋1＞0〗

學(xué)生8：要證ab＋bc＋ca＋1＞0，可證ab＋bc＋ca＞－1

（a＋b＋c）²=a²＋b²＋c²＋2（ab＋bc＋ca）≥3（ab＋bc＋ca）

而條件可化為 ︱a︱≤1， ︱b︱≤1，︱c︱≤1， 與結(jié)論聯(lián)系不緊…

老師：思路不順，不要緊.你善于思考，并勇于表達(dá)自己的意見(jiàn)，即使沒(méi)有做對(duì)，但你已經(jīng)有了很大的收獲.大家看一看，直接證明不好入手，怎么辦？

學(xué)生搶答：轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題！

老師：答的好！那么，哪個(gè)字母作自變量？請(qǐng)大家動(dòng)手證明這個(gè)問(wèn)題.

四．畫(huà)龍點(diǎn)睛，深入淺出：

老師：今天大家積極思考、發(fā)言踴躍、配合默契.同學(xué)們?cè)倩仡櫼幌拢阂陨侠�題是采用什么方法輕松求解的？關(guān)鍵步驟是什么，它起了什么作用？大家動(dòng)筆寫(xiě)一下.

（三分鐘后用幻燈出示小結(jié)）

〖小結(jié)函數(shù)方程思想（課題）

(1)轉(zhuǎn)化方法：

轉(zhuǎn)換角度，柳暗花明；

化歸函數(shù)，迎刃而解；

構(gòu)造函數(shù)，深入淺出.

(2)化歸思想

方程、不等式、多項(xiàng)式、集合等問(wèn)題

函數(shù)問(wèn)題

重新認(rèn)識(shí)

轉(zhuǎn) 化

五．課后訓(xùn)練：〖練習(xí)題：

1．已知 0＜a＜1，若函數(shù)y= log（a－kax） 在 [1，＋∞)上有意義，求k的取值范圍.

x³＋sinx－2a=0

2．設(shè)x、y∈[－π/4/π]且4y³＋siny cosy＋a=0 ，求 cos（2y＋x）. 〗

六．板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

七．教后筆記

以上是筆者親自主講的一節(jié)公開(kāi)課的 教學(xué)設(shè)計(jì)，原意是想從情境引入，激發(fā)思維；切入主題，循循善誘；順勢(shì)利導(dǎo)，步步深入；畫(huà)龍點(diǎn)睛，深入淺出；辨證思維，培養(yǎng)品質(zhì)等方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，達(dá)到引人入勝以激發(fā)學(xué)生興趣，教師善誘引學(xué)生多思，師生互動(dòng)收顯著效果.能否達(dá)到目的，歡迎同行校正、點(diǎn)評(píng).