拋物線教學(xué)設(shè)計(jì) 人教選修3

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●教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識點(diǎn)

1.利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義來解決問題.

2.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及焦點(diǎn)弦長的求法.

（二）能力訓(xùn)練要求

1.熟練掌握利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義來解決問題.

2.掌握拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及焦點(diǎn)弦長的求法.

（三）德育滲透目標(biāo)

1.訓(xùn)練學(xué)生分析問題與解決問題的能力，訓(xùn)練學(xué)生方程同解變形、解方程和方程組的運(yùn)算能力.

2.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生利用圓錐曲線定義的解題思想及方法.

●教學(xué)重點(diǎn)

1.拋物線定義的應(yīng)用.

2.拋物線的焦點(diǎn)弦長求法.

3.拋物線綜合知識的應(yīng)用.

●教學(xué)難點(diǎn)

拋物線各個(gè)知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用.

●教學(xué)方法

講練結(jié)合法.

●教具準(zhǔn)備

投影片三張

第一張：例1與例2（記作§8.5.2 A）

第二張：例3與例4（記作§8.5.2 B）

第三張：練習(xí)題（記作§8.5.2 C）

●教學(xué)過程

Ⅰ.課題導(dǎo)入

［師］通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，現(xiàn)在請大家回答下面兩個(gè)問題：

1.拋物線的定義是什么？

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式？分別是什么，并說出對應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？

［生］1.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程共四種形式：

開口向右，y2=2px(p＞0),F(,0),l:x=-

開口向左，y2=-2px(p＞1),F(-,0),l:x=

開口向上，x2=2py(p＞0),F(0,),l:x=-

開口向下，x2=-2py(p＞0),F(0,-),l：y=

［師］回答得很好，下面我們看幾個(gè)例題.

（打出投影片§8.5.2 A)

Ⅱ.講授新課

［例1］點(diǎn)M與點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l:x＋5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.

［師］想想怎樣求點(diǎn)M的軌跡方程？

［生］先設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y)，接著用兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)到直線距離公式表示出上面的關(guān)系及條件，則得到有關(guān)x與y的一個(gè)關(guān)系，再化簡即得出結(jié)論.

［師］此同學(xué)按的是求軌跡方程的一般做法，這種方法在化簡時(shí)過程比較繁瑣，大家應(yīng)結(jié)合我們今天學(xué)的“拋物線及其方程”，看能否用一種比較簡便的方法做出來.

［生］由題可知，點(diǎn)M應(yīng)在直線l的右邊，否則點(diǎn)M到F的距離大于它到l的距離；其次，“點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離為它到直線x＋4=0的距離”，由此可知點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x＋4=0為準(zhǔn)線的拋物線.

解：如右圖所示，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y)

由已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x＋4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)的拋物線.

∵=4

∴p=8

因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸的正半軸上，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=16x.

［例2］斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長.

先請兩名學(xué)生在黑板上做，最后老師與全體同學(xué)一起訂正并歸納，可得以下三種解法.

如圖所示，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=-1. 由題可知，直線AB的方程為y=x-1

代入拋物線方程y2=4x，整理得

x2-6x＋1=0

解法一：解上述方程得

x1=3＋2,x2=3-2

分別代入直線方程得

y1=2＋2,y2=2-2

即A、B的坐標(biāo)分別為（3＋2，2＋2），（3-2，2-2）

∴|AB|=

解法二：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則

x1＋x2=6,x1·x2=1

∴|AB|=|x1-x2|

解法三：設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離|AA′|

即|AF|=|AA′|=x1＋1

同理|BF|=|BB′|=x2＋1

∴|AB|=|AF|＋|BF|=x1＋x2＋2=8

(打出投影片§8.5.2 B)

［例3］已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)M（-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和m的值.

分析：焦點(diǎn)在x軸上的拋物線有兩種形式，一種開口向右，另一種開口向左，因?yàn)?i>M的橫坐標(biāo)是-3，所以開口向左.先設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)M在拋物線上與M到焦點(diǎn)的距離等于5可得出兩個(gè)方程.從而得出方程組，解方程組即可.另外也可根據(jù)拋物線定義，M到焦點(diǎn)的距離等于M到準(zhǔn)線的距離.因準(zhǔn)線方程為x=，則有＋3=5，即可求得p，從而得出拋物線方程.

解法一：設(shè)拋物線方程y2=-2px(p＞0)，則焦點(diǎn)F（-,0)，由題設(shè)可得：

解得

故拋物線的方程為y2=-8x,m的值為±.

解法二：設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p＞0)，則焦點(diǎn)F（-,0），準(zhǔn)線方程為x=.

根據(jù)拋物線的定義，M到焦點(diǎn)的距離等于5，也就是M到準(zhǔn)線的距離等于5，則

＋3=5

∴p=4

因此拋物線方程為y2=-8x

又點(diǎn)M（-3，m)在拋物線上，于是

m2=24

∴m=±

評述：比較兩種解法，可看出運(yùn)用定義的方法簡捷.

［例4］在拋物線y2=2x上求一點(diǎn)p，使p到焦點(diǎn)F與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和最小.

分析：p是拋物線上任一點(diǎn)，如按一般思路設(shè)出坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離表示出p到焦點(diǎn)F的距離及p到點(diǎn)A的距離，接著得出一關(guān)系，從而求最值的話，計(jì)算上太繁；此題可用拋物線的定義，用p到焦點(diǎn)F的距離等于p到準(zhǔn)線l的距離即可作出.