橢圓方程中x,y的范圍是－a≤x≤a，－b≤y≤b，離心率e的范圍是０＜e＜１．這些取值范圍在解題中有不平凡的功效，茲舉例如下：

例１Ｆ_１、Ｆ_２是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，Ｐ是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是＿＿＿．（第七屆“希望杯”賽題）

解　由橢圓范圍知－２≤x≤２，設(shè)Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)是（x₀,y₀）,則－２≤x₀≤２，由焦半徑公式知（其中）

故

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x0=2或－２時(shí)取得，故的最小值為１．

例２　已知橢圓（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)是Ａ、Ｂ，若Ｃ上存在點(diǎn)Ｑ，使

∠ＡＱＢ＝１２０°，求曲線Ｃ的離心率的取值范圍．

解　設(shè)Ｑ（x₀,y₀），由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)Ｑ在x軸上方，即０＜y₀≤b．

∵

∴tgＡＱＢ＝代入整理得

（１）

又Ｑ點(diǎn)在橢圓上，故（２）

由（１）、（２）知

∴

由于y0＝０時(shí)Ｑ與Ａ或Ｂ重合，故舍去．

∴

又０＜y0≤b,故≤b．

從而可得

解得

∴．

又∵e＜１，故e的取值范圍是e．

例３　以Ｆ（２，０）為焦點(diǎn)，直線l＝為準(zhǔn)線的橢圓截直線y=kx＋３所得弦恰被x軸平分，求k的取值范圍．

解：由橢圓的第二定義知橢圓方程為，展開化簡(jiǎn)即得

由于橢圓截直線y=kx＋３所得的弦被x軸平分，故直線y=kx＋３必經(jīng)橢圓中心Ｏ′，０），即有k)＋3=0,解得

由０＜e２＜１，得０＜＜１

解之得－＜k＜０

故k的取值范圍是