教學(xué)目標

(一)知識目標

1.任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式；

2.兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)；

3.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求角.

(二)能力目標

1.理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算；

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，并會利用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；

3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

4.能正確運用三角公式，進行三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明；

5.會用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義；并通過它們的圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y＝Asin(ωx＋<…)的簡圖，理解A、ω、…的物理意義；

6.會用已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示.

(三)德育目標

1.滲透“化歸”思想；

2.培養(yǎng)邏輯推理能力；

3.提高解題能力.

教學(xué)重點

三角函數(shù)公式、三角函數(shù)(尤其是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù))的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點

靈活應(yīng)用三角公式，正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題.

教學(xué)方法

講練結(jié)合法

通過講解強化訓(xùn)練題目，加深對三角函數(shù)知識的理解，提高對三角函數(shù)知識的應(yīng)用能力.

教學(xué)過程

A組

1.解：(1)Z}，

(2)Z}，

(3)Z}，

(4)Z｝，－2π，0，2π

評述：這一題目要求我們首先要準確寫出集合S，并判斷k可取何值時，能使集合S中角又屬于所要求的范圍.

2.解：由l＝｜α｜r得

cm

cm²

答：周長約44 cm，面積約1．1×10 cm²

評述：這一題需先將54°換算為弧度數(shù)，然后分別用公式進行計算.

3.(1)sin4＜0；(2)cos5＞0；(3)tan8＜0；(4)tan(－3)＞0．

評述：先判斷角所屬象限，然后確定其三角函數(shù)的符號..

評述：先由已知條件確定角所屬象限，然后結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，求出另外的三角函數(shù)值.

5.解：由sinx＝2cosx，得tanx＝2

∴x為第一象限或第三象限角

當x為第一象限角時

tanx＝2，cotx＝，cosx＝，secx＝，sinx＝，cscx＝

當x為第三象限角時

tanx＝2，cotx＝，cosx＝－，secx＝－，sinx＝－，cscx＝－

評述：注意靈活使用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形式，即“1”的妙用，這也是三角函數(shù)式化簡過程中常用的技巧之一，另外，注意及時使用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)圖象和性質(zhì)：當α∈［0,)時，sinα＜cosα.

7.解：sin⁴α－sin²α＋cos²α＝sin²α(sin²α－1)＋cos²α＝(1－cos²α)(－cos²α)＋cos²α

＝－cos²α＋cos⁴α＋cos²α＝cos⁴α

評述：注意使用sin²α＋cos²α＝1及變形式.

8.證明：(1)左邊＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)

＝2－2sinα＋2cosα－sin2α

右邊＝(1－sinα＋cosα)2＝［1－(sinα－cosα)］2

＝1－2(sinα－cosα)＋(sinα－cosα)2

＝1－2sinα＋2cosα＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα

＝2－2sinα＋2cosα－sin2α

∴左邊＝右邊

即原式得證.

(2)左邊＝sin²α＋sin²β－sin²α·sin²β＋cos²α·cos²β

＝sin²α(1－sin²β)＋cos²α·cos²β＋sin²β

＝sin²α·cos²β＋cos²α·cos²β＋sin²β

＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1＝右邊

∴原式得證

評述：三角恒等式的證明一般遵循由繁到簡的原則.

9.解：(1)

將tanα＝3代入得，原式＝

(2)sinαcosα＝tanα·cos2α＝tanα·

(3)(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×

評述：注意挖掘已知條件與所求結(jié)論中的三角函數(shù)的關(guān)系.

10.解：(1)sinπ＋cosπ＋tan(－π)＝sin＋cos－tan=

(2)sin2＋cos3＋tan4≈1．0777

評述：注意靈活應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡后再求值.

11.解：(1)∵sin(π＋α)＝－＝－sinα

∴sinα＝

∴cos(2π－α)＝cosα＝±

當α為第一象限時，cosα＝

當α為第二象限時，cosα＝－

(2)tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝tanα

當α為第一象限時，tanα＝

當α為第二象限時，tanα＝－

評述：要注意討論角的范圍.

12.解：(1)sin378°21′＝sin18°21′＝0．3148

(2)sin(－879°)＝－sin(159°)＝－sin21°＝－0．3584

(3)sin3＝0．1409

評述：要用誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值問題.

13.解：設(shè)0＜x＜2π

14.解：∵cosα＝－且π＜α＜

∴sinα＝－，∴tanα＝

∴tan(－α)＝

評述：仔細分析題目，要做到有的放矢.

15.解：∵sinα＝，α為銳角 ∴cosα＝

又∵sinβ＝，β為銳角 ∴cosβ＝

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝

又∵0＜α＋β＜π，∴α＋β＝

說明：若先求出sin(α＋β)＝，則需否定α＋β＝.

評述：一般地，若所求角在(0，π)上，則一般取此角的余弦較為簡便；若所求角在(－，)上，則一般取此角的正弦較為簡便.

16.(1)證明：∵

∴tan(A＋B)＝tan＝1＝

即：tanA＋tanB＝1－tanAtanB

∴tanA＋tanB＋tanAtanB＝1

∵(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB

∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝2

(2)證明：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2得

tanA＋tanB＝1－tanAtanB

又∵0＜A＜，0＜B＜

∴tanA＋tanB＞0

即tan(A＋B)＝1

又∵0＜A＋B＜π

∴A＋B＝

(3)解：由上述解答過程可知：

兩銳角之和為直角之半的充要條件是(1＋tanA)(1＋tanB)＝2不可以說“兩個角A、B之和為的充要條件是(1＋tanA)(1＋tanB)＝2”因為在(2)小題中要求A、B都是銳角.

17.證明：設(shè)正方形的邊長為1

則tanα＝，tanβ＝

∴tan(α＋β)＝

又∵0＜α，β＜π，∴α＋β＝

評述：要緊扣三角函數(shù)定義.

18.證明：∵0＜α，β，γ＜

且tanα＝＜1，tanβ＝＜1，tanγ＝＜1

∴0＜α，β，γ＜

又∵tan(α＋β＋γ)＝1

0＜α＋β＋γ＜

∴α＋β＋γ＝45°

20.解：設(shè)△ABC的底為a，則腰長為2ａ

∴sin＝ cos＝

∴sinA＝2sincos＝

cosA＝2cos2－1＝－1＝

tanA＝．

21.證明：p＝ｉｖ＝ｉｍsinωｔ·ｖｍsin(ωｔ＋)＝ｉｍｖｍsinωｔcosωｔ＝ｉｍｖｍsin2ωｔ

22.證明：由題意可知：

sin＝

cos＝

∴sinθ＝2sincos＝2··＝

23.解：由教科書圖4—12，可知：

當α為某一象限角時，有：

｜sinα｜＝｜Mp｜，｜cosα｜＝｜OM｜

∵｜Mp｜＋｜OM｜＞｜Op｜＝1，

∴｜sinα｜＋｜cosα｜＞1

當α的終邊落在坐標軸上時，有｜sinα｜＋｜cosα｜＝1．

因此，角α的正弦絕對值與余弦絕對值之和不小于1.

評述：要注意數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學(xué)思想的利用.

24.解：(1)由1－tanx≠0，得tanx≠1

∴x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z

∴函數(shù)y＝的定義域為：

｛x｜x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z｝

(2)由≠kπ＋得x≠2kπ＋π，k∈Z

∴y＝tan的定義域為｛x｜x≠2kπ＋π，k∈Z｝

25.解：(1)由cos2x＝1．5，得cosx＝±

又∵ ［－1，1］

∴cos2x＝1．5不能成立.

(2)由sinx－cosx＝sin(x－)∈［－，］

∴sinx－cosx＝2．5不能成立

(3)當x＝時，tanx＝1

∴tanx＋＝2有可能成立

(4)由sin3x＝－得sinx＝－∈［－1，1］

∴sin3x＝－成立.

評述：要注意三角函數(shù)的有界性.

26.解：(1)當sinx＝1時，即x＝2kπ＋，k∈Z時,

y＝＋取得最大值.

∴y＝＋的最大值為＋.

使y取得最大值的x的集合為｛x｜x＝＋2kπ，k∈Z｝.

當sinx＝－1時，即x＝－＋2kπ時.

y＝＋取得最小值.

∴y＝＋的最小值為－.

使y取得最小值的x的集合為｛x｜x＝－＋2kπ，k∈Z｝.

(2)當cosx＝－1即x＝(2k＋1)π時,

y＝3－2cosx取得最大值,

∴y＝3－2cosx的最大值為5.

使y取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋π，k∈Z｝.

當cosx＝1，即x＝2kπ時

y＝3－2cosx取得最小值

∴y＝3－2cosx的最小值為1

使y取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝

27.解：(1)y＝sinx－cosx(x∈R)＝2sin(x－)，

∴ymax＝2，ymin＝－2

(2)y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，(x∈R)

∴ymax＝，ymin=－

28.解：當0≤x≤2π時，由圖象可知：

(1)當x∈［，2π］時，角x的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是增函數(shù).

(2)當x∈［，π］時，角x的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是減函數(shù).

(3)當x∈［0，］時，角x的正弦函數(shù)是增函數(shù)，而余弦函數(shù)是減函數(shù).

(4)當x∈［π，］時，角x的正弦函數(shù)是減函數(shù)，而余弦函數(shù)是增函數(shù).

29.解：(1)由f(－x)＝(－x)2＋cos(－x)＝x2＋cosx＝f(x)

得y＝x2＋cosx，x∈R是偶函數(shù)

(2)由y＝｜2sinx｜＝｜2sin(－x)｜

得y＝｜2sinx｜，x∈R是偶函數(shù)

(3)由y＝tanx2＝tan(－x)2

得y＝tanx2，x≠±(k∈Z)是偶函數(shù)

(4)由y＝x2sinx＝－(－x)2sin(－x)

得y＝x2sinx，x∈R是奇函數(shù)

30.(1)y＝sin(3x－)，x∈R

(2)y＝－2sin(x＋)，x∈R

(3)y＝1－sin(2x－)，x∈R

(4)y＝3sin(－)，x∈R

31.(1)略

(2)解：由sin(π－x)＝sinx，可知函數(shù)y＝sinx，x∈［0，π］的圖象關(guān)于直線x＝對稱，據(jù)此可得出函數(shù)y＝sinx，x∈［，π］的圖象；又由sin(2π－x)＝－sinx，可知函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象關(guān)于點(π，0)對

稱，據(jù)此可得出函數(shù)y＝sinx，x∈［π，2π］的圖象.

(3)解：把y軸向右(當 ＞0時)或向左(當 ＜0時＝平行移動｜ ｜個單位長度，再把x軸向下(當k＞0時)或向上(當k＜0時＝平移｜k｜個單位長度，就可得出函數(shù)y＝sin(x＋)＋k的圖象.

32.解：(1)y＝sin(5x＋)，x∈R振幅是1，周期是，初相是

把正弦曲線向左平行移動個單位長度，可以得出函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R的圖象；再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，就可得出函數(shù)y＝sin(5x＋)，x∈R的圖象.

(2)y＝2sinx，x∈R

振幅是2，周期是12π，初相是0

把正弦曲線上所有點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變)，可以得出函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象；再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，就可得出函數(shù)y＝2sinx，x∈R的圖象.

33.解：(1)由ｈ＝2sin(ｔ＋)，ｔ∈［0，＋∞）

得ｔ＝0時，ｈ＝cm

即：小球開始振動時的位置在離平衡位置cm處.

(2)當sin(ｔ＋)＝1時，ｈmax＝2sin(ｔ＋)＝－1時，ｈmax＝－2

即：小球最高、最低點與平衡位置的距離都是2 ｃｍ.

(3)由T＝得T＝2πs

即：經(jīng)過2πs，小球往復(fù)振動一次.

(4)f＝

即：小球每1 s往復(fù)振動次.

34.解：(1)由sinx＝0，x∈［0，2π］ 得x＝0，π，2π

(2)由cosx＝－0．6124，x∈［0，2π］

得x＝0．71π，1．29π或arccos(－0．6124)，2π－arccos(－0．6124)

(3)由cosx＝0，x∈［0，2π］

得x＝，

(4)由sinx＝0．1011，x∈［0，2π］

得x＝0．03π，1．97π或arcsin0．1011，π－arcsin0．1011．

(5)由tanx＝－4，x∈［0，2π］

得x＝0．58π，1．58π或π＋arctan(－4)，2π＋arctan(－4)

(6)由cosx＝1，x∈［0，2π］

得x＝0，2π

B組

1.解：由已知α是第四象限角

得2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，(k∈Z)

(1)∴kπ＋＜＜kπ＋π∴的終邊在第二或第四象限

(2)＋＜＜＋

即：90°＋k·120°＜＜30°＋90°＋k·120°

∴的終邊在第二、第三或第四象限

(3)4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π

即：2α的終邊在第三或第四象限，也可在y軸的負半軸上.

2.解：由題意知

解之得｜α｜＝弧度

答：扇形中心角度數(shù)約為143°

3.解：cosα＋sinα＝cosα·

＝cosα·＝cosα(－(α為第二象限角)

4.解：由tanα＝－

(1)

5.證明：左邊＝

＝

＝

＝

＝sinα＋cosα＝右邊

6.證明：∵xcosθ＝a，ycotθ＝b，(a≠0，ｂ≠0)

7.證明：(1)左邊＝

右邊＝

∴

(2)左邊＝

8.證明：由tanθ＋sinθ＝a，tanθ－sinθ＝ｂ

得(ａ2－ｂ2)2＝(ａ－ｂ)2(ａ＋ｂ)2＝(2sinθ)2(2tanθ)2＝16sin2θ·tan2θ

16ab＝16(tanθ＋sinθ)(tanθ－sinθ)＝16(tan2θ－sin2θ)

＝16sin2θ(－1)＝16sin2θ＝16sin2θtan2θ

∴(ａ2－ｂ2)2＝16ａｂ

9.證明：由3sinβ＝sin(2α＋β)

得3sin［(α＋β)－α］＝sin［(α＋β)＋α］

＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα

＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα

∴2sin(α＋β)cosα=4cos(α＋β)sinα

∴tan(α＋β)＝2tanα

評述：等式兩邊主要是角的差異，應(yīng)從變換條件中的角入手.

10.解：由已知cos(＋x)＝，＜x＜

得：cos2(＋x)＝2cos2(＋x)－1＝cos(＋2x)＝－sin2x＝－

∴sin2x＝，sin(＋x)＝－

11．解：(1)當2kπ≤2x－≤2kπ＋π，(k∈Z)

即kπ＋≤x≤kπ＋時

y＝3cos(2x－)是減函數(shù)

(2)當2kπ＋≤－3x＋≤2kπ＋，(k∈Z)

即－＋≤x≤＋時

y＝sin(－3x＋)是減函數(shù)

12.解：由

得－＋kπ＜x＜＋kπ或＋kπ＜x＜＋kπ(k∈Z)

∴函數(shù)的定義域為：

(－＋kπ，＋kπ)∪(＋kπ，＋kπ)，k∈Z

13.解：y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x(x∈R)

＝1＋sin2x＋2cos2x＝2＋sin2x＋cos2x

＝2＋sin(2x＋)

(1)周期T＝＝π

(2)當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z

即－＋kπ≤x≤＋kπ時，原函數(shù)為增函數(shù)

∴函數(shù)在［－＋kπ，＋kπ］上是增函數(shù)

(3)圖象可以由函數(shù)y＝sin2x，x∈R的圖象向左平行移動個單位長度，再向上平行移動2個單位長度而得到

14.證明：由sinβ＝ｍsin(2α＋β)

得sin［(α＋β)－α］=ｍ·sin［(α＋β)＋α］

即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα

＝ｍ［sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα］

＝(1－ｍ)·sin(α＋β)cosα

＝(1＋ｍ)·cos(α＋β)sinα

∵ｍ≠1，α≠，α＋β≠＋kπ(k∈Z)

∴tan(α＋β)＝tanα

評述：此方法是綜合法，利用綜合法證明恒等式時，必須有分析的基礎(chǔ)，此證法是觀察到結(jié)論中的角構(gòu)造：β＝(α＋β)－α；2α＋β＝(α＋β)＋α，證明時有的放矢，順利完成證明.