●教學(xué)目標(biāo)��

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)��

1.橢圓的參數(shù)方程.��

2.橢圓的參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系.��

（二）能力訓(xùn)練要求��

1.使學(xué)生了解橢圓參數(shù)方程的來源，并能在研究橢圓的性質(zhì)、建立橢圓的方程的過程中，正確地應(yīng)用參數(shù)方程.��

2.使學(xué)生掌握參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系，正確互化以便靈活應(yīng)用.��

（三）德育滲透目標(biāo)��

使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物的表現(xiàn)形式可能不止一種，認(rèn)識(shí)事物要透過現(xiàn)象看本質(zhì).��

●教學(xué)重點(diǎn)��

1.建立橢圓的參數(shù)方程及橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用.��

2.橢圓的參數(shù)方程與變通方程互化.��

●教學(xué)難點(diǎn)��

1.建立橢圓的參數(shù)方程及橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用.��

2.橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化.��

●教學(xué)方法��

師生共同討論法��

通過師生共同討論，使學(xué)生了解橢圓參數(shù)方程的來源，理解橢圓參數(shù)方程的建立方法，明確常數(shù)a、b的幾何意義并掌握橢圓參數(shù)方程與普通方程的互化.��

●教具準(zhǔn)備��

投影片兩張��

第一張：p101例5（記作§8.2.3 A）��

第二張：本課時(shí)教案的例6、例7（記作§8.2.3 B）��

多媒體課件一個(gè)：��

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為圓心作兩個(gè)半徑不等的同心圓（用同一種顏色），作大圓的半徑OA交小圓于B，作AN垂直于x軸，垂足為N，過B作BM⊥AN，垂足為M（點(diǎn)M標(biāo)為另一種顏色）讓OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，看點(diǎn)M的軌跡，給學(xué)生一個(gè)直觀印象.��

●教學(xué)過程��

Ⅰ.課題導(dǎo)入��

［師］上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的比值定義，哪位同學(xué)來敘述一下.��

［生］動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條直線的距離的比是一個(gè)常數(shù)e(0＜e＜1)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線是橢圓的準(zhǔn)線.��

［師］橢圓25x2＋9y2=225的準(zhǔn)線方程是什么？��

［生］將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：��

可知：a=5,b=3,c==4��

∴橢圓的準(zhǔn)線方程是y=±

［師］同學(xué)們對(duì)準(zhǔn)線方程的形式要予以掌握，另外，請(qǐng)注意知道a、c的值能寫出準(zhǔn)線方程，但知道準(zhǔn)線方程要確定a、c的值，還需要其他條件，僅知道準(zhǔn)線方程，只能確定a、c的關(guān)系，下面我們?cè)賮砜催@樣一個(gè)題目.（打出投影片§8.2.3 A）��

Ⅱ.講授新課��

［師］（讀題，并用多媒體課件演示，對(duì)點(diǎn)M的軌跡給學(xué)生一個(gè)直觀形象）��

分析指導(dǎo)：題目讓求當(dāng)OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程，我們知道在解析幾何中求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，就把哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(x,y)，然后再去尋求關(guān)系，那么我們來考慮一下，點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）隨著哪個(gè)量的變化而變化呢？或者說選哪個(gè)量為參數(shù)呢？（給同學(xué)們留出思考的時(shí)間）��

［生甲］點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x就是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)就是點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，所以教一個(gè)量既能表示A點(diǎn)的橫坐標(biāo)又能表示B點(diǎn)縱坐標(biāo)作為參數(shù)即可.由于OA在繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，而且它的半徑已知，△BOR、△AON勻?yàn)?em>Rt△，故選轉(zhuǎn)角∠AOx為參數(shù)，就既能表示B點(diǎn)的縱坐標(biāo),又能表示A點(diǎn)的橫坐標(biāo).��

［師］很好，生甲分析得透徹，大家聽清楚了嗎？��

［生］明白啦！��

［師］好，下面我們來寫出解答過程（請(qǐng)一名同學(xué)在黑板上板書）��

［生乙］設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y)，φ是以Ox為始邊，OA為終邊的正角，取φ為參數(shù)，那么��

x=ON=|OA|cosφ��

y=NM=|OB|sinφ��

即

這就是所求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.��

［師］做完的同學(xué)請(qǐng)舉手.好，請(qǐng)放下，我們來看生乙的解答（師生共同審閱），有沒有不完善或不嚴(yán)密的地方？��

［生丙］我認(rèn)為在取φ為參數(shù)的地方，標(biāo)明參數(shù)的取值范圍要嚴(yán)密一些，即標(biāo)出0＜φ＜2π��

［師］生丙所說的有道理嗎？有必要嗎？��

（學(xué)生考慮）��

［師］生丙所說的是非常有道理的，標(biāo)明參數(shù)的取值范圍是非常有必要的，不要以為課本上未談及咱來談就是多余的，就是多此一舉的.事實(shí)上，求曲線的參數(shù)方程，對(duì)參數(shù)的范圍是應(yīng)予以足夠重視的.這點(diǎn)在我們以后的做題中要引起注意.��

至此，按題目要求，這道題我們做完啦，假如這道題條件不變，所求改為求點(diǎn)M的軌跡，我們?cè)撊绾巫瞿�？�?/p>

［生］求出點(diǎn)M的軌跡方程，再指出軌跡是怎樣的曲線嗎？��

［師］正確，怎樣求其軌跡方程呢？求普通方程還是求參數(shù)方程呢？��

［生］都可以.��

［師］求出參數(shù)方程后，你能根據(jù)方程指出曲線類型嗎？就是說上面所求出方程，你知道它表示的曲線是什么嗎？��

（生無言以對(duì)，也有可能根據(jù)我們前面演示的直觀，或根據(jù)課前的預(yù)習(xí)會(huì)說是橢圓，但為什么呢？這時(shí)教師要抓住時(shí)機(jī)，指出應(yīng)當(dāng)怎樣確定曲線的類型）.��

［師］求出曲線的參數(shù)方程后，要想進(jìn)一步確定曲線的類型，采用的方法仍然是化生疏為熟悉，將參數(shù)中的參數(shù)消去，得到曲線的普通方程，從而指出曲線類型，比如上面的參數(shù)方程，我們將兩個(gè)方程分別變形，得：��

=cosφ,=sinφ��

利用三角函數(shù)中同一角的三角函數(shù)關(guān)系，即可消去參數(shù)，也就是將方程兩邊平方后相加，

得：

即消去方程中的參數(shù)后，得到的方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：��

由此可知，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b的橢圓.��

我們把方程(0＜φ≤2π)稱為橢圓的參數(shù)方程，在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng).��

［師］上面我們討論了橢圓的參數(shù)方程，并且討論了參數(shù)方程化為普通方程的方法，那么給出橢圓的普通方程，怎樣把它化為參數(shù)方程呢？��

我們來看這樣一個(gè)例子.（打出投影片§8.2.3 B）��

［例6］將橢圓方程化為參數(shù)方程.

分析指導(dǎo)：將普通方程化為參數(shù)方程，重要是利用三角函數(shù)中同一角的正弦值平方與它余弦值的平方和等于1的這個(gè)關(guān)系.��

解：令x=4cosθ,(0＜θ≤2π)��

∵sin2θ＋cos2θ=1��

∴y=3sinθ��

∴橢圓的參數(shù)方程為(0＜θ≤2π)��

［師］此時(shí)，我們可以說點(diǎn)（4cosθ,3sinθ）是橢圓上的任意一點(diǎn)嗎？��

［生］（略加考慮，作答），可以.因?yàn)?x,y)是橢圓上的任意點(diǎn)，而x=4cosθ,y=3sinθ，所以(4cosθ,3sinθ)是橢圓上的任意點(diǎn).��

注意：(1)橢圓的普通方程化為參數(shù)方程結(jié)果不是惟一的.��

(2)把橢圓的普通方程化為參數(shù)方程熟練之后，在求橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)或定直線的最大、最小距離時(shí)，將是很方便的.��

［例7］在橢圓上到直線l:3x-2y-16=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是______，最短距離是______.��

分析：設(shè)橢圓上的任意一點(diǎn)為M（2cosθ,sinθ）則M點(diǎn)到直線l的距離��

∴當(dāng)φ－θ=時(shí)，d有最小值

此時(shí)，θ=φ-，sinθ=-cosφ=-,cosθ=sinφ=

∴M點(diǎn)坐標(biāo)是（）

注意：求最值問題，三角代換是一種常用的方法，而圓、橢圓的參數(shù)方程，實(shí)質(zhì)就是三角代換，它使二元x,y轉(zhuǎn)化為一元θ,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，使問題化繁為簡(jiǎn).

��

Ⅲ.課堂練習(xí)��

（1）已知橢圓的參數(shù)方程(θ是參數(shù))，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.��

答案：

（2）已知橢圓的方程,以離心角φ為參數(shù)，則橢圓的參數(shù)方程是______.

答案：(φ為參數(shù))��

（3）已知橢圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是______，短軸長(zhǎng)是______，焦點(diǎn)坐標(biāo)是______，準(zhǔn)線方程是______，離心率______.��

答案：2 2F1（0，），F2（0，-）

y=±

（4）曲線(θ為參數(shù))的焦距是______.��

答案：2

（5）曲線的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，則此曲線是______.��

A.橢圓 B.橢圓的一部分��

C.線段 D.直線的一部分��

答案：C��

Ⅳ.課時(shí)小結(jié)��

本節(jié)課我們討論了橢圓的參數(shù)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，特別是用參數(shù)表示出橢圓上的點(diǎn)后，（三角代換），給求最值問題帶來了很大的方便.同學(xué)們要很好掌握這種方法，需要注意的是：求曲線的參數(shù)方程時(shí)，由于所選的參數(shù)不同，求出的參數(shù)方程形式也不一定相同.其次，參數(shù)方程化為普通方程結(jié)果是惟一的，而變通方程化為參數(shù)方程形式是多樣的.��

Ⅴ.課后作業(yè)��

課本p103習(xí)題8.210，11��

●板書設(shè)計(jì)��