橢圓的定義不僅是推導(dǎo)方程的基礎(chǔ)，而且是證題的一把金鑰匙.待證題目中有焦點的條件，常從定義出發(fā)，尋求證題方法，為證題創(chuàng)造條件，茲舉例如下：

例1 已知p（x0,y0）是橢圓（a＞b＞0）上的任意一點，F1、F2是焦點，求證：以pF2為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.

證明 設(shè)以pF2為直徑的圓心為A，半徑為r.

∵F1、F2為焦點，所以由橢圓定義知

|pF1|＋|pF2|=2a，|pF2|=2r

∴|pF1|＋2r=2a，即|pF1|=2（a－r）

連結(jié)OA，由三角形中位線定理，知

|OA|=

故以pF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切.

評注 運(yùn)用橢圓的定義結(jié)合三角形中位線定理，使題目得證.

例2

設(shè)p是橢圓（a＞b＞0）上的一點，F1、F2是橢圓的焦點，且∠F1pF2=90°，求證：橢圓的率心率e≥

證明 ∵p是橢圓上的點，F1、F2是焦點，由橢圓的定義，得|pF1|＋|pF2|=2a ①

在Rt△F1pF2中,

由①2，得

∴|pF1|·|pF2|=2(a2－c2) ②

由①和②，據(jù)韋達(dá)定理逆定理，知|pF1|·|pF2|是方程z2－3az＋2(a2－c2)=0的兩根，

則△=4a2－8(a2－c2)≥0,

∴()2≥，即e≥.

例3p為橢圓（a＞b＞0）上的點，F1、F2是橢圓的焦點，e為離心率.若∠pF1F2=α，∠pF2F1=β，求證：

證明 由橢圓定義，知|pF1|＋|pF2|=2a，|F1F2|=2c

∵

由正弦定理，得|pF1|=2Rsinβ,|pF2|=2Rsinα，|F1F2|=2Rsin(α＋β)

例4p是橢圓（a＞b＞0）上的任意一點，F1、F2是焦點，半短軸為b,且∠F1pF2=α.求證：△pF1F2的面積為

證明 由橢圓的定義知|pF1|＋|pF2|=2a，又|F1F2|=2c.

在△pF1F2中，由余弦定理，得