1.教學(xué)橢圓的參數(shù)方程時(shí)，要注意些什么？��

答：①使學(xué)生弄清橢圓參數(shù)方程的來(lái)源，明確橢圓的參數(shù)方程，是表示橢圓的又一種方程，它是相對(duì)于直接給出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y的關(guān)系的普通方程而言的，是一種通過(guò)第三個(gè)量中間接表示x,y之間關(guān)系的形式.��

②熟練掌握橢圓參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系，做到互化并靈活應(yīng)用.��

2.橢圓的參數(shù)方程在證明問(wèn)題中的應(yīng)用��

［例1］設(shè)A（x₁,y₁）為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為-的直線l，又設(shè)d為原點(diǎn)到直線l的距離，r₁,r₂分別是A點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，求證：·d為常數(shù).��

分析：可利用橢圓參數(shù)方程.��

證明：設(shè)橢圓參數(shù)方程為：��

(θ為參數(shù))��

∵A(x₁,y₁)在橢圓上��

∴

∴直線l的方程為：��

cosθ₁·x＋2sinθ₁·y-2=0��

∴d=

∴(常數(shù))��

∴得證��

注意：由于本題涉及到橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，所以可使用“焦半徑”公式進(jìn)行推理和運(yùn)算，請(qǐng)讀者自行完成.��

［例2］AB是橢圓=1的任意一條弦，p為AB的中點(diǎn)，O為橢圓的中心.��

求證：kAB·kOp為定值.��

證明：設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(acosθ,bsinθ)(acosφ,bsinφ)��

∵p(x,y)是AB的中點(diǎn)��

∴x=(cosθ＋cosφ)��

y=(sinθ＋sinφ)��

∴kAB=

kOp=

∴kAB·kOp=

∵sin2θ-sin2φ=1-cos2θ-1＋cos2φ=-(cos2θ-cos2φ)

∴kAB·kOp=-

3.橢圓的參數(shù)方程在與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題中的應(yīng)用.��

［例3］若實(shí)數(shù)x,y滿足=1，試求：v=y-3x的最大值.��

解：設(shè)橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(4cosθ,5sinθ)，則

v=y-3x=5sinθ-12cosθ=13sin(θ－φ)(arctan=φ)��

∴當(dāng)θ=＋φ時(shí)，v_max=13.��

評(píng)述：(1)本題是利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用三角函數(shù)式的變換，通過(guò)討論三角函數(shù)式的最值而得解的.��

(2)以上方法讓我們體會(huì)到了巧用橢圓參數(shù)方程所帶給我們的簡(jiǎn)單和明快.��

［例4］已知x,y滿足，求��

f(x,y)=x²＋2xy＋4y²＋x＋2y的最大值.��

解：將=1轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程��

即

∴f(x,y) =(x²＋4y²)＋(2xy＋x＋2y)��

=4＋(2·2cosθsinθ＋2cosθ＋2sinθ)��

=4cosθsinθ＋2(cosθ＋sinθ)＋4

令t=cosθ＋sinθ��

則2sinθcosθ=t2-1��

∴f(x,y)=2(t²-1)=2t＋4=2(t²＋t＋1)��

∵t=cosθ＋sinθ=sin(θ＋)≤

∴f(x,y)有最大值為:��

2［()²＋＋1］=2(3＋)��

評(píng)述：運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程于求最值問(wèn)題中，其解法的巧妙簡(jiǎn)單令人陶醉，數(shù)學(xué)中一定要注重培養(yǎng)學(xué)生的技巧能力.