����教材中只介紹了橢圓的一些基本性質．在實際中，橢圓還有一些有趣的性質．探討這些性質，不僅可以豐富解題思路，而且還可以培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識，在學習過程中會有所發(fā)現(xiàn)．本文介紹幾個性質以示拋磚引玉．

一、橢圓上點對兩焦點張直角的性質

Ｐ是橢圓上的一點，Ｆ_１、Ｆ_２是左、右焦點，Ｏ是橢圓中心，e是離心率，ＯＰ的傾斜角為α，則∠Ｆ_１ＰＦ_２＝９０°的充要條件是．

證明　如圖，在△Ｆ_１ＰＦ_２中，∠Ｆ_１ＰＦ_２為直角的充要條件是（平面幾何定理）

∵

設Ｐ點坐標為（x,y），則，代入橢圓方程得：

∴整理得

即

∴．

例１Ｐ是橢圓上的一點，Ｆ_１、Ｆ_２為兩焦點，若∠Ｆ_１ＰＦ_２＝９０°，試求

△ＰＦ_１Ｆ_２的面積．

解　設ＯＰ的傾斜角為α，又知，代入可得．

∴

二、橢圓準線上點對長軸頂點視角的性質

橢圓準線上的點對其長軸兩頂點的視角為α，若橢圓的離心率為e，則α是銳角且≤e．

證明　如圖，設Ｐ在x軸上方，坐標為

∵為銳角．

整理為y的方程

∵此方程有實根，∴

∴

∵α為銳角，∴．

例２Ｐ是橢圓右準線上的一點，點Ｐ對此橢圓左右兩頂點Ａ１、Ａ２的視角為α，求α的最大值．

解　∵

由題設及性質得

又知α為銳角，∴α的最大值為．

三、橢圓中心點張直角的性質

若橢圓上有兩點Ａ、Ｂ，且ＯＡ⊥ＯＢ，則原點到弦ＡＢ的距離．

證明　如圖，設∠ＢＯＸ＝α，則∠ＡＯＸ＝＋α，設ＯＢ＝m＞0,OA=n＞0,A點為

（－，Ｂ點為（），代入橢圓方程整理得

由等面積法得

例３　直線與橢圓交于Ａ、Ｂ兩點，當k為何值時，以ＡＢ為直徑的圓通過坐標原點．

解a＝２，，∵ＡＢ為直徑的圓過原點，∴ＯＡ⊥ＯＢ，由性質及原點到直線距離公式得

,解之得．