����現(xiàn)行高中《平面解析幾何》課本對橢圓第二定義采用了從具體事例入手，引出一個新概念的定義的方法，這是數(shù)學教學中常用的從具體到抽象、從特殊到一般地講授新概念的方法，符合人們從感性到理性的認識事物的規(guī)律．但是，在這里我們要注意，從認識事物的原型到認識事物的本質(zhì)，這是對事物認識的質(zhì)的飛躍，妥善處理好這個過程，是教學成功的關鍵．為此，我們在教學橢圓第二定義時，作了如下安排：

１．自讀推敲，引導剖析

首先讓學生自讀課本Ｐ．７６例３及由此引出的橢圓第二定義，自己推敲這一定義的內(nèi)涵及外延，并提出以下問題供學生思考：

（１）定義中有哪些已知條件？

（２）定點、定直線、定比在橢圓定義中的名稱各是什么？

（３）定比是哪兩個量的比？這兩個量本身是變量還是常量？定比是什么范圍的值？

（４）定點、定直線、定比一定是例３給出的數(shù)量關系（Ｆ（嗎？定點坐標、定直線方程是否可為其他的形式？

對第（１）、（２）、（３）三個問題學生容易從課本中找出答案，但第（４）個問題則一石激起千層浪，學生們議論紛紛．這時，教師啟而不答．

２．通過變式，提示內(nèi)涵

讓學生研究課本Ｐ．７９第１０題“點Ｐ與一定點Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是１：２，求點Ｐ的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．”

學生很快根據(jù)例３求出c＝２，又由，得a＝４，而由，可知滿足題意．從而得點Ｐ的軌跡方程為，所以點Ｐ的軌跡是橢圓．

接著，我將上題稍加改動，讓學生研究：“點Ｐ與一定點Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是，求點Ｐ的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．”學生沿用上題的解法，得，由，得，得軌跡方程為，有的學生由而提出該題題設矛盾，所以無解，也有的學生列出方程組，解得，而認為此題無解．

這時，教師不評價學生的解法，而是提示他們比較該題題意與課本給出的橢圓第二定義是否一致，由他們自己發(fā)現(xiàn)滿足題意的動點軌跡是橢圓，進而重新尋求解題的途徑．不少學生建立方程，化簡得，由此可見，這是中心在點（，對稱軸為直線及的橢圓．

從該例讓學生看到橢圓第二定義中的定點、定直線、定比的數(shù)量關系不一定是課本Ｐ．７６例３給出的定點Ｆ（c，０）、定直線、定比，當不滿足這個數(shù)量關系時，建立橢圓方程不能套用例３的結果去解．當給出定點Ｆ（n，０）、定直線x＝m（m≠n）、定比為e（０＜e＜１時，可建立方程，解得．

顯然，只要m≠n，即點Ｆ（n，０）不在直線x＝m上時，都是橢圓方程．

這樣，就讓學生自己在解決問題的過程中，求得思考題（４）的第一個問題的答案．進而指導學生深入推敲橢圓第二定義，讓他們深切地理解定義中的定點一般為(x0,y0)，定直線一般為ax＋by＋c＝０，并告訴學生在學過坐標變換之后，可通過坐標變換，將所求的軌跡方程化為橢圓的標準方程．

通過以上研究，讓學生明確：課本Ｐ．７６例３題設中給出的數(shù)量關系是橢圓的標準方程的條件，而不是所有橢圓方程所要求的條件，即不是橢圓方程的本質(zhì)特征，這樣，學生對橢圓第二定義的內(nèi)涵和外延的理解就深刻多了．

３．列舉反例，防患未然

要使學生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，運用變式比較，揭示概念本質(zhì)以外，我們還經(jīng)常列舉一些反例讓學生判別，防止常見錯誤的發(fā)生．為此，給出以下兩例，讓學生判別命題是否正確．

例１　點Ｐ到點Ｆ（２，０）的距離比它到定直線x=7的距離�。�，點Ｐ的軌跡是什么圖形？

給出如下解法讓學生判別：

解：設Ｐ點的坐標為（x,y），則

而＝１，

所以點Ｐ到定點Ｆ（２，０）的距離與它到定直線x=7的距離的比小于１，故點Ｐ的軌跡是橢

圓．

例２　點Ｐ到定直線x=8的距離與它到點Ｆ（２，０）的距離的比為，則點Ｐ的軌跡是橢圓．

對上述兩個問題，引導學生逐一分析，讓學生明確：例１中，比值，但不是一個常數(shù)，故不可斷定點Ｐ的軌跡是橢圓．例２中要注意橢圓第二定義中的定比是動點到定點的距離比動點到定點直線的距離，其比的前后項順序不可倒置，故不可斷定此題中的點Ｐ的軌跡是橢圓．經(jīng)過對上述兩例中典型錯誤的剖析，學生對橢圓第二定義的本質(zhì)屬性有了更深刻的認識．

４．設置新題，檢測運用

經(jīng)過前面的教學過程，應該說基礎知識已經(jīng)講清了．但是，要讓學生深刻理解教學的內(nèi)容，并且能夠正確運用，這需要讓學生有一個獨立運用所學知識解決問題的過程．于是，我們讓學生獨立解以下題目：一動點Ｐ到直線2x＋y－８=0的距離與它到點（１，２）的距離的比值為，求動點Ｐ的軌跡方程，并判斷點Ｐ的軌跡是何種曲線．

解：設Ｐ點的坐標為（x,y），則

．

從方程看，現(xiàn)在我們還不能判定此方程的曲線是何種曲線，但仔細分析題意，可將已知條件改述為動點Ｐ到點（１，２）的距離與它到直線２x＋y－８＝０的距離之比為１：，這顯然符合橢圓第二定義，可知Ｐ點的軌跡為橢圓．

通過這一例的教學讓學生更深切地理解了橢圓的第二定義，也讓學生看到橢圓的非標準方程所具有的形式．

５．拓展課本，活化知識

課本對于橢圓的準線方程作了如下敘述：“對于橢圓，相應于焦點Ｆ（c，０）的準線方程為，根據(jù)橢圓的對稱性，相應于焦點Ｆ′（－c，０）的準線方程為；所以，橢圓有兩條準線．”由此啟發(fā)學生看到命題（稱做Ａ）：點Ｍ（x,y）與定點Ｆ′（－c，０）的距離與它到直線l′：的距離之比是常數(shù)（a＞c＞０），則點Ｍ（x，y）的軌跡方程也是橢圓的標準方程．于是我們引導學生明確結論：課本Ｐ．７６例３給出的數(shù)量關系：定點Ｆ（c，０）、定直線l：、常數(shù)（a＞c＞０），以及命題Ａ給出的數(shù)量關系：定點Ｆ′（－c，０）、定直線l′：、常數(shù)（a＞c＞０）均分別是動點Ｍ的軌跡方程為橢圓標準方程的充要條件，并且，二者是等價的．接著，我們又引導學生再次分析本文第２部分所講到的命題（稱為Ｂ）：定點為Ｆ（n，０），定直線為x＝m（m≠n），定比為e（０＜e＜１ ，得出的橢圓方程．讓他們看到當且僅當即時，動點Ｍ的軌跡方程為橢圓的標準方程．即條件“”是動點Ｍ的軌跡方程為橢圓標準方程的充要條件．

在此基礎上，要求學生自行命題，設計出動點的條件，使其軌跡方程分別符合下列要求：

①軌跡方程為橢圓的標準方程；

②軌跡方程為中心在x軸上且短軸平行于y軸的橢圓方程．

從而，讓學生不但能正確地解命題Ｂ型的問題，而且能自行設計命題Ｂ型的問題，使學生對橢圓第二定義的理解、掌握和運用達到新的境界．