橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí) 人教選修
橢圓是一種常見(jiàn)而重要的曲線，對(duì)它的學(xué)習(xí)我們要通過(guò)它的方程去進(jìn)一步深入研究它的幾何性質(zhì)，而對(duì)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的熟練掌握則是我們以后繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和預(yù)備知識(shí).
1.深刻理解橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離和等于常數(shù)2a(2a＞|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，用集合語(yǔ)言可敘述為：點(diǎn)集p={M|MF1|＋|MF2|=2a,a＞0,2a＞|F1F2|}.
問(wèn)題1：若點(diǎn)M滿足條件|MF1|＋|MF2|=2a(a＞0,F1、F2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn))，則它的軌跡一定是橢圓嗎？反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，一定有|MF1|＋|MF2|=2a（a＞0）這一條件嗎？
分析：從上節(jié)課我們畫(huà)橢圓的實(shí)際操作中可以得到：當(dāng)M滿足：|MF1|＋|MF2｜=2a且
2a＞|F1F2|條件時(shí)，才能得到一個(gè)橢圓，同樣可以得到，若M的軌跡是一個(gè)橢圓，則它一定滿足|MF1|＋|MF2|=2a(a＞0)這一條件.
評(píng)述：深刻理解以上問(wèn)題的關(guān)鍵是：從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)實(shí)踐從而鞏固理論.
問(wèn)題2：將定義中的“2a＞|F1F2|”改成“2a=|F1F2|”或“2a＜|F1F2|”時(shí)，點(diǎn)M的軌跡如何呢？
分析：理解透徹以上問(wèn)題仍可提醒學(xué)生在實(shí)踐中總結(jié)理論，通過(guò)直接具體的實(shí)踐不難發(fā)現(xiàn)和得到：
當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.
當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是不存在的.
評(píng)述：以上兩個(gè)問(wèn)題思考之后，可以得出：
“動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離和|MF1|＋|MF2|=2a(a＞0)”是“點(diǎn)M軌跡是橢圓”的必要而不充分條件.
注意：橢圓的定義是我們對(duì)它方程式的推導(dǎo)的依據(jù).
請(qǐng)讀者試探索以下題目：
到兩個(gè)定點(diǎn)F1（-2，0）和F2(2,0)的距離之和不小于4的點(diǎn)M的軌跡是什么？
答案：線段或橢圓
2.熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
問(wèn)題1：在學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，應(yīng)注意些什么？
分析：①橢圓的位置特征與它的標(biāo)準(zhǔn)方程形式是統(tǒng)一的.橢圓的位置由其中心位置和焦點(diǎn)位置確定，即當(dāng)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程為
=1(a＞b＞0).當(dāng)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程是
=1(a＞b＞0).
②在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，應(yīng)從“定位”與“定量”兩個(gè)方面去考慮，“定位”是指確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，以判斷方程的形式；“定量”是指確定方程中的a2與b2的具體數(shù)值，常常通過(guò)待定系數(shù)法去求.
問(wèn)題2：在具體去求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，應(yīng)怎樣進(jìn)行“巧設(shè)巧求”呢？
下面通過(guò)具體例子說(shuō)明：
［例1］根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
①坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（0，2）和B（
）.
②坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一焦點(diǎn)為（0，
），且截直線y=3x-2所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為0.5.
③經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-3）且與橢圓9x2＋4y2=36有共同的焦點(diǎn).
解：①設(shè)所求橢圓的方程為
=1(m＞0,n＞0)
∵橢圓過(guò)A（0，2），B（
）
∴
∴所求橢圓方程為：x2＋
=1
②根據(jù)題意設(shè)所求橢圓的方程為
=1(a＞b＞0)
∵c=
∴a2=b2＋50
∴
消去y得：
10(b2＋5)x2-12b2x-b2(b2＋46)=0
設(shè)直線與橢圓相交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn)，則x1、x2是以上方程的根且有Δ＞0
即5b3＋2b2＋43b＋100＞0(*)
∴x1＋x2=
∵
∴b2=25,∴a2=75
將b2=25代入*中成立
∴所求橢圓的方程為：
=1
③∵橢圓9x2＋4y2=36的焦點(diǎn)為（0，±
），則可設(shè)所求橢圓方程為：
=1(m＞0)
將x=2,y=-3代入上式得：
解得：m=10或m=-2（舍去）
∴所求橢圓的方程為：
=1
評(píng)注：①小題中所求橢圓方程設(shè)為
=1(m＞0,n＞0)，這是因?yàn)轭}中未給定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，如若用常規(guī)思路設(shè)為
=1（a＞b＞0）或
=1(a＞b＞0)去求時(shí)，運(yùn)算過(guò)程將會(huì)非常繁瑣，而且還要舍去一個(gè)不符合題意的.因此，在焦點(diǎn)位置未明確的情況下，本題所設(shè)方程是恰當(dāng)合理的，簡(jiǎn)單易行的.如遇類似問(wèn)題時(shí)我們不妨采取這一設(shè)法.
②小題中的解法體現(xiàn)了求橢圓方程的一般方法，通過(guò)“定位”與“定量”兩個(gè)過(guò)程可求得所求橢圓方程，但本題注意到方程結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)可直接求出a2、b2而無(wú)需再去求a、b了，另外，此題要根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系去求b2,在消去y的過(guò)程中因運(yùn)算量較大，故應(yīng)小心謹(jǐn)慎一些.
③小題中的設(shè)法也不失為一種好的設(shè)法.
因已知橢圓的焦點(diǎn)為（0，±
），如若能注意到方程
=1(m＞0)表示的是其焦點(diǎn)F1（0，-
）、F2（0，
）的橢圓方程時(shí)，問(wèn)題將會(huì)變得簡(jiǎn)單易解，使我們感到得心應(yīng)手.在以后學(xué)習(xí)過(guò)程中如遇類似問(wèn)題不妨采取這種設(shè)法.
注意：確定圓錐曲線的方程是解析幾何里的一類重要題型，常規(guī)解法固然思路簡(jiǎn)單自然，但在很多情況下，它會(huì)使我們陷入運(yùn)算量繁瑣的困境中，因此“巧設(shè)巧求”會(huì)帶給我們事半功倍的效果.
3.深入學(xué)習(xí)“定義法”求“動(dòng)點(diǎn)軌跡”.
問(wèn)題1：橢圓的定義在求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題中發(fā)揮著巧思妙解的作用，它是如何體現(xiàn)的呢？
以下試通過(guò)具體例子說(shuō)明：
［例2］平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)距離是8，求到兩個(gè)定點(diǎn)距離的和是10的點(diǎn)的軌跡.
解法一：設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)分別為F1、F2，以兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則F1（-4，0），F2（4，0）.
設(shè)M（x,y）為軌跡上任一點(diǎn)，依題意得：
∴
=10
整理得：9x2＋25y2=25×9
即：
∴點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓.
解法二：根據(jù)橢圓的定義，可知所求點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，以過(guò)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.
∵2a=10,2c=8
∴a=5,c=4
∴b2=
=3
∴所求點(diǎn)的軌跡方程為：
∴點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓.
評(píng)述：①解法一用的是“坐標(biāo)法”，其思路簡(jiǎn)單清晰，但運(yùn)算量繁瑣；解法二巧妙地用了橢圓的定義直接寫(xiě)了軌跡方程，這種求軌跡的方法叫定義法.
②“坐標(biāo)法”與“定義法”都是解析幾何中求點(diǎn)軌跡問(wèn)題的重要方法，兩種方法起著互相補(bǔ)充的作用，要具體問(wèn)題靈活分析應(yīng)用.
請(qǐng)讀者對(duì)以下題目分別用兩種方法討論，并體會(huì)準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)剡x擇方法對(duì)我們解題的影響程度如何.
在△ABC中，A、B、C所對(duì)的三邊分別是a、b、c，并且B（-1，0），C（1，0），求滿足b＞a＞c,b,a,c成等差數(shù)列時(shí)，頂點(diǎn)A的軌跡.
答案：A點(diǎn)的軌跡方程是
，即A點(diǎn)的軌跡是橢圓的左半部分，且除去
（-2，0）這一點(diǎn).
［例3］一動(dòng)圓與圓x2＋y2＋6x＋5=0外切，同時(shí)與圓x2＋y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡.
解法一：設(shè)圓圓心為p（x,y），半徑為R，兩已知圓的圓心分別是O1，O2.
分別將已知兩個(gè)圓的方程
x2＋y2＋6x＋5=0與x2＋y2-6x-91=0配方，得：
（x＋3）2＋y2=4與(x-3)2＋y2=100
當(dāng)圓p與圓O1：(x＋3)2＋y2=4外切時(shí)，
有|O1p|=R＋2 ①
當(dāng)圓p與圓O2：（x-3）2＋y2=100內(nèi)切時(shí)，
有|O2p|=10-R ②
①、②兩式的兩邊分別相加，得
|O1p|＋|O2p|=12
即：
=12 ③
化簡(jiǎn)得：
∴動(dòng)圓圓心的軌跡是橢圓
解法二：同解法一得方程
=12 ①
由方程①可知，動(dòng)圓圓心p（x,y）到點(diǎn)O1（-3，0）和點(diǎn)O2（3，0）距離和是常數(shù)12，所以點(diǎn)p的軌跡是一個(gè)橢圓，并且這個(gè)橢圓的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在x軸上，于是可求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
∵2c=6,2a=12
∴c=3,a=6
∴b2=36-9=27
∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：
∴動(dòng)圓圓心的軌跡是一個(gè)橢圓
評(píng)述：通過(guò)以上例題的分析我們不難體會(huì)出圓錐曲線（這里是橢圓）的定義在簡(jiǎn)化計(jì)算方面發(fā)揮著巨大的功效，值得我們特別注意.
中考 高考名著
常用成語(yǔ)