���麑�橢圓及其標準方程熟練掌握的基礎(chǔ)上，我們要不斷深入學習，要靈活地將橢圓的定義及其標準方程應(yīng)用于其他與橢圓有關(guān)的問題中，這就要求我們在教學中必須注意對學生拓展思維能力的培養(yǎng).��

下面，試舉幾例說明：��

［例1］過橢圓4x²＋y²=1的一個焦點F₁的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一個焦點F₂構(gòu)成△ABF₂的周長是多少？��

解：根據(jù)題意畫出圖形��

∵|AF₁|＋|AF₂|=2��

|BF₁|＋|BF₂|=2��

∴|AF₁|＋|BF₁|＋|AF₂|＋|BF₂|=4��

即|AB|＋|AF₂|＋|BF₂|=4��

［例2］如果橢圓上一點M到此橢圓一個焦點F₁的距離為2，N是MF1的中點，O是橢圓的中心，那么線段ON的長為多少？

解：根據(jù)題意畫出圖形，其中F₂是橢圓的另一個焦點，由橢圓定義得：��

|MF₂|＋|MF₁|=2×5=10��

又|MF₁|=2，∴|MF₂|=8��

∵ON是△MF₁F₂的中位線��

∴|ON|=4��

評述：對于例1可以通過分別求出A、B兩點的坐標從而求出△ABF₂的周長.對于例2可以通過求M點坐標，再求N點坐標，從而求ON的長度.但通過利用定義求出結(jié)果的這種方法可以使我們?nèi)シ本秃�，其巧妙之處大家也深有感觸.可見尋求簡捷的解法應(yīng)成為我們不斷探索的動力.��

［例3］已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，p是橢圓上任一點.

（1）若∠F₁pF₂=，求△F1pF2的面積.��

(2)求|pF₁|·|pF₂|的最大值.��

分析：（1）如果設(shè)p（x,y），由p點在已知橢圓上且∠F₁pF₂=,利用這兩個條件，列出關(guān)于x,y的兩個方程，解出x,y，再求△F₁pF₂的面積，這種思路雖簡單清晰，但運算量大，過程繁瑣，須另尋捷徑，不妨利用橢圓定義去求，如果考慮到∠F₁pF₂=，和三角形面積公式S=absinC,只要求得|pF₁|·|pF₂|問題就可以解決了.��

(2)繼續(xù)利用橢圓定義及均值不等式定理即可求出|pF₁|·|pF₂|的最大值.��

解：（1）設(shè)|pF₁|=m，|pF₂|=n，根據(jù)橢圓定義，有m＋n=20，在△F₁pF₂中，由余弦定理可得：��

m²＋n²-2mncos=122��

∴m²＋n²-mn=144��

∴(m＋n)²-3mn=144��

∴20²-3mn=144��

∴mn=

∴|pF₁||pF₂|sinF₁pF₂

∴

(2)∵a=10,根據(jù)橢圓定義有：��

|pF₁|＋|pF₂|=20��

∴|pF₁|＋|pF₂|≥2

∴|pF₁||pF₂|≤(

∴當且僅當|pF₁|=|pF₂|時“=”號成立��

∴|pF₁|·|pF₂|的最大值是100��

評述：對解題方法的靈活選擇，運用自如，是建立在扎實的基本功和基本技能的基礎(chǔ)上形成的一種能力，教學中應(yīng)引起我們的重視.��

二、深入學習“轉(zhuǎn)移法”求點的軌跡��

問題一：轉(zhuǎn)移法求軌跡的基本步驟是什么？��

答：（1）設(shè)所求軌跡上的動點p（x,y），再設(shè)具有某種規(guī)律f（x,y）=0上的動點

Q（x′,y′）��

（2）找出p、Q之間坐標關(guān)系式，并表示為

(3)將x′,y′代入f(x,y)=0，即得所求軌跡方程f［φ1(x,y),φ2(x,y)］=0

問題二：什么條件下應(yīng)用轉(zhuǎn)移法求點的軌跡呢？��

答：當問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的時，應(yīng)用轉(zhuǎn)移法求點的軌跡比較合適.��

［例4］在橢圓內(nèi)，內(nèi)接三角形ABC，它的一邊BC與長軸重合，A在橢圓上運動，試求△ABC的重心軌跡.��

分析：直接尋找三角形ABC的重心p的軌跡較為困難，而A在橢圓上運動，可將點p轉(zhuǎn)移到A來討論.��

解：設(shè)重心p（x,y）及A（x₁,y₁）則AO是三角形ABC的中線，根據(jù)三角形重心公式與定比分點定義，有λ=，則有：��x₁=

y₁=

∵A點在橢圓上��

∴

∴是所求點的軌跡方程，且所求點的軌跡方程是一個中心在原點，焦點在x軸上的橢圓.��

［例5］已知F是橢圓25x²＋16y²=400在x軸上方的焦點，Q是此橢圓上任意一點，點p分所成的比為2，求動點p的軌跡方程.��

解：將橢圓方程變?yōu)楠?/p>

∵a²=25,b²=16��

∴c=

∴焦點F（0，3）��

設(shè)點p（x,y）、Q(x₁,y₁)��

∴25x₁²＋16y₁²=400 ①��

由p分所成比為2，得��

∴x₁=3x,y₁=3y-6��

代入①式，得��

25(3x)²＋16(3y-6)²=400��

整理，得225x²＋144y²-576y＋176=0��

［例6］已知圓x²＋y²=25,一條平行于x軸的半弦交圓于點p，交y軸于點N、O為圓心，M為圓與x軸的正向的交點，當半弦pN在y軸的右側(cè)平行移動時，求pO與MN的交點Q的軌跡方程.��

解：設(shè)p（x₀,y₀）,M(5,0),N(₀,y₀)��

∴Op:y=x

MN:

以x₀,y₀為主字母解得：��

x₀=

代入x₀²＋y₀²=25中，得��

(

整理，得y²=-10x＋25(0＜x≤＝��