����解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題除可利用橢圓的參數(shù)方程外，以下幾種方法也是常用的.��

［例5］已知x,y∈R,且x,y滿足方程x²＋4y²=1，試求f(x,y)=3x＋4y的最大值、最小值.

分析：將所求f(x,y)=3x＋4y經(jīng)過(guò)令z=f(x,y)變形為y=，而是直線在y軸上的截距，再根據(jù)A(x,y)是x²＋4y²=1上的點(diǎn)，故可采用判別式法去解決.��

解：

①代入②中，得��

13x²-6zx＋z²-4=0

∴Δ=36z²-4×13(z²-4)≥0��

∴-≤z≤

∴3x＋4y的最大值為，最小值為-.��

注意：直線-3x±=4y是橢圓的斜率為-的兩條切線.��

［例6］已知橢圓x²＋2y²=98及點(diǎn)p（0，5），求點(diǎn)p到橢圓距離的最大值與最小值.��

分析：以（0，5）為圓心，內(nèi)切于橢圓的圓半徑為r₁，即點(diǎn)p到橢圓的最小值，以（0，5）為圓心外切于橢圓的圓的半徑為r₂,即點(diǎn)p到橢圓的最大值.��

解：∵0²＋2×52＜98��

∴點(diǎn)（0，5）在橢圓內(nèi)部��

設(shè)以（0，5）為圓心和橢圓相切圓的方程為：��

x²＋(y-5)²=r2 ①��

將橢圓方程x²＋2y²=98代入①中，得��

r²=-(y＋5)²＋148(-7≤y≤7)��

∴當(dāng)y=-5時(shí)，r_max²=148��

即：r_max=2

當(dāng)y=7時(shí)，r_min²=4，��

即r_min=2��

注意：本題的解法稱為輔助圓法.��

［例7］求定點(diǎn)A（a,0）到橢圓上的點(diǎn)之間的最短距離.��

解：設(shè)B（x,y）為橢圓上任意一點(diǎn).��

∴|AB|²=（x-a）²＋y²=(x-a)²＋1-

∴|AB|²=(x-2a)²＋1-a²

∵x∈［-,］��

若|a|≤,則x=2a時(shí)，��

|AB|_min=

若a＞,則x=時(shí)，��

|AB|_min=|a-|��

若a＜-,則x=-時(shí)，��

|AB|_min=|a＋|��

注意：本題解法是函數(shù)法.��