教學(xué)目標(biāo)

（1）了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；

（2）了解線性規(guī)化問題的圖解法；

（3）培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學(xué)會溝通與合作，培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力；

（4）引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德．

教學(xué)建議

一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

學(xué)以致用，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題，因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是：線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（既數(shù)學(xué)建模），所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。突破這個難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活，了解實(shí)際情況，并與所學(xué)知識緊密結(jié)合起來。

二、教法建議

（l）建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué)，以增加課堂容量，增強(qiáng)直觀性，進(jìn)而提高課堂效率．

（2）課堂上可以設(shè)計幾個實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答，一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法，為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會溝通與合作，共同完成活動任務(wù)．

（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題．

（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團(tuán)結(jié)協(xié)作，聽從指揮，注意安全．學(xué)生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現(xiàn)．一切以學(xué)生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖．

（5）對學(xué)生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流．展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力，增強(qiáng)學(xué)生的自信心．通過評估，可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足．通過交流研討，分享成果，進(jìn)行思維碰撞，使認(rèn)識和情感得到提升．

教學(xué)設(shè)計方案

教學(xué)目標(biāo)

（1）了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；

（2）了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題；

（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建�！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力；

（4）結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識，激勵學(xué)生勇于創(chuàng)新．

重點(diǎn)難點(diǎn)

理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。

如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)。

教學(xué)步驟

（一）引入新課

我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規(guī)劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識來解決呢？

（二）線性規(guī)劃問題的教學(xué)模型

線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是

已知其中都是常數(shù)，是非負(fù)變量，求的最大值或最小值，這里是常量。

前面我們計論了兩個變量的線性規(guī)劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解，涉及更多變量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式不能用圖形來表示它，那么對四元線性規(guī)劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解，同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會得到解決。

線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用

線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)，常見問題有：

1．物調(diào)運(yùn)問題

例如，已知兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng)兩個車站運(yùn)往外地，兩個車站的運(yùn)輸能力是有限的，且已知兩煤礦運(yùn)往兩個車站的運(yùn)輸價格，煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最�。�

2．產(chǎn)品安排問題

例如，某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，能使每月獲得的總利潤最大？

3．下料問題

例如，要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應(yīng)怎樣下料能使損耗最��？

4．研究一個例子

下面的問題，能否用線性規(guī)劃求解？如能，請同學(xué)們解出來。

某家具廠有方木料，五合板，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售，已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料、五合板，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料、五合板，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)時可使所得利潤最大？

A．教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答：

（1）先將已知數(shù)據(jù)列成下表

（2）設(shè)生產(chǎn)書桌x張，生產(chǎn)書櫥y張，獲利潤為z元。

分析：顯然這是一個二元線性問題，可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題，并可用圖解法求解。

（3）目標(biāo)函數(shù)

①在第一個問題中，即只生產(chǎn)書桌，則，約束條件為

∴ 最多生產(chǎn)300張書桌，獲利潤元

這樣安排生產(chǎn)，五合板先用光，方木料只用了，還有沒派上用場。

②在第二個問題中，即只生產(chǎn)書櫥，則，約束條件是

∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥，獲利潤元

這樣安排生產(chǎn)，五合板也全用光，方木料用去了，仍有沒派上用場，獲利潤比只生產(chǎn)書桌多了48000元。

③在第三個問題中，即怎樣安排生產(chǎn)，可獲利潤最大？

，約束條件為

對此，我們用圖解法求解，

先作出可行域，如圖陰影部分。

時得直線與平行的直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)M（0，600）。因?yàn)榕c平等的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中，距原點(diǎn)最遠(yuǎn)，所以最優(yōu)解為，即此時

因此，只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是72000元。

B．討論

為什么會出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥；第二，生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板，生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板，按家具廠五合板的存有量，可生產(chǎn)書櫥600張，若同時又生產(chǎn)書桌，則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產(chǎn)書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應(yīng)的，家具廠方木料存有量為，而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料。

這是一個特殊的線性規(guī)劃問題，再來研究它的解法。

C．改變這個例子的個別條件，再來研究它的解法。

將這個例子中方木料存有量改為，其他條件不變，則

作出可行域，如圖陰影部分，且過可行域內(nèi)點(diǎn)M（100，400）而平行于的直線離原點(diǎn)的距離最大，所以最優(yōu)解為（100，400），這時（元）。

故生產(chǎn)書桌100、書櫥400張，可獲最大利潤56000元。

總結(jié)、擴(kuò)展

1．線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型。

2．線性規(guī)劃在兩類問題中的應(yīng)用

布置作業(yè)

到附近的工廠、鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)、商店、學(xué)校等作調(diào)查研究，了解線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用，或提出能用線性規(guī)劃的知識提高生產(chǎn)效率的實(shí)際問題，并作出解答。把實(shí)習(xí)和研究活動的成果寫成實(shí)習(xí)報告、研究報告或小論文，并互相交流。

探究活動

如何確定水電站的位置

小河同側(cè)有兩個村莊A，B，兩村莊計劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用．已知 A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最��？

[解]視兩村莊為兩點(diǎn)A，B，小河為一條直線L，原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點(diǎn)p，使p點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)距離之和為最小的問題．

以L所在直線為軸，軸通過A點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．作A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連，與軸交于點(diǎn)p．由平面幾何知識得，點(diǎn)p即為所求．據(jù)已知條件，A（0，300），（0，－300）．過B作軸于點(diǎn)，過A作，于點(diǎn)H．

由，，得B（300，700）．于是直線的方程為

即

所以p點(diǎn)的坐標(biāo)即為與軸的交點(diǎn)（90，0），即水電站應(yīng)建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點(diǎn)90 m的地方