教學目標

1.掌握指數(shù)形式的復合函數(shù)的單調(diào)性的證明方法。

2.掌握指數(shù)形式的復合函數(shù)的奇偶性的證明方法。

3.培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識。

教學重點

函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的證明通法

教學難點

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應用

教學方法

引導式

教具準備

投影片2張（例5，例6）

教學過程

（I）復習回顧

師：上一節(jié)，我們一起學習了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應用，這一節(jié)，我們學習指數(shù)形式的復合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的證明方法。首先，大家來回顧一下第二章第一單元所學的證明函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的基本步驟。

1.判斷及證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：

假設作差變形判斷

說明：變形目的是為了易于判斷；判斷有兩層含義：一是對差式正負的判斷；二是對增減函數(shù)定義的判斷。

2.判斷及證明函數(shù)奇偶性的基本步驟：

（1）考查函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱；

（2）比較f（-x）與f（x）或者-f（x）的關(guān)系；

（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義得出結(jié)論。

說明：考查函數(shù)定義域容易被學生忽略，應強調(diào)學生注意。

師：接下來，大家來看例題。

（II）講授新課

例1：當a>1時，證明函數(shù)是奇函數(shù)。

分析：此題證明的結(jié)構(gòu)仍是函數(shù)奇偶性的證明，但在證明過程中的恒等變形用到推廣的實數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)。

證明：由ax-1≠0得，x≠0

故函數(shù)定義域{x|x≠0}關(guān)于原點對稱。

所以，函數(shù)是奇函數(shù)。

例2：設a是實數(shù)，

（1）試證明對于任意a,f（x）為增函數(shù)；

（2）試確定a 值，使f（x）為奇函數(shù)。

分析：此題雖形式較為復雜，但應嚴格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進行證明。還應要求學生注意不同題型的解答方法。

（1）證明：設x₁,x₂∈R,且x₁2

由于指數(shù)函數(shù) y=2^x在R上是增函數(shù),且x₁2,所以2x¹<2x²即2x¹-2x²<0

又由2x<0得2x¹＋1>0,2x²＋1>0

所以f（x₁）-f（x₂）<0即f（x₁）2）

因為此結(jié)論與a取值無關(guān)，所以對于a取任意實數(shù)，f（x）為增函數(shù)。

評述：上述證明過程中，在對差式正負判斷時，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性。

（2）解：若?（x）為奇函數(shù)，則f（-x）= -f（x）

解得：a=1

所以當a=1時,f（x）為奇函數(shù)。

評述：此題并非直接確定a值，而是由已知條件逐步推導a值。應要求學生適應這種題型。

（III）課堂練習

已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當x∈(0,＋∞)時，f（x）=-2^x＋1,求當x∈(-∞,0)時，f（x）的解析式。

（IV）課時小結(jié)

師：通過本節(jié)學習，要求大家進一步熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應用，并掌握函數(shù)單調(diào)性。奇偶性證明的通法。

（V）課后作業(yè)

一、1.課本p79習題2.64.

2.已知函數(shù)

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；

（2）求證函數(shù)f（x）在（-∞，＋∞）上是增函數(shù)。

二、1.預習提綱：

（1）對數(shù)與指數(shù)有何聯(lián)系？

（2）對數(shù)式與指數(shù)式如何互化？

板書設計

教學后記